Номер 4.25, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.25. Треугольник $ABC$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$. Отрезок $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $O$ — середина отрезка $BM$. Через точки $A, B, C, M$ и $O$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1, B_1, C_1, M_1$ и $O_1$ соответственно. Найдите отрезок $BB_1$, если $AA_1 = 17$ см, $CC_1 = 13$ см, $OO_1 = 12$ см.

Поскольку прямые, проведенные через точки $A$, $B$, $C$, $M$ и $O$, параллельны и пересекают плоскость $α$, отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $MM_1$ и $OO_1$ также параллельны друг другу. Это позволяет нам рассматривать пространственные фигуры, образованные этими точками и отрезками, как трапеции.

1. Нахождение длины отрезка $MM_1$

Рассмотрим четырехугольник $ACC_1A_1$. Так как прямые $AA_1$ и $CC_1$ параллельны, то $ACC_1A_1$ является трапецией с основаниями $AA_1$ и $CC_1$.
По условию, $BM$ — медиана треугольника $ABC$, значит, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Так как параллельные прямые $AA_1$, $MM_1$, $CC_1$ пересекают прямые $AC$ и $A_1C_1$, то по теореме Фалеса точка $M_1$ будет серединой отрезка $A_1C_1$.
Следовательно, отрезок $MM_1$ является средней линией трапеции $ACC_1A_1$. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Используя данные из условия $AA_1 = 17$ см и $CC_1 = 13$ см, получаем:
$MM_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

2. Нахождение длины отрезка $BB_1$

Теперь рассмотрим четырехугольник $BMM_1B_1$. Поскольку прямые $BB_1$ и $MM_1$ параллельны, $BMM_1B_1$ является трапецией с основаниями $BB_1$ и $MM_1$.
По условию, точка $O$ — середина отрезка $BM$. Аналогично предыдущему шагу, по теореме Фалеса точка $O_1$ является серединой отрезка $B_1M_1$.
Таким образом, отрезок $OO_1$ является средней линией трапеции $BMM_1B_1$. Его длина равна полусумме длин оснований $BB_1$ и $MM_1$.
$OO_1 = \frac{BB_1 + MM_1}{2}$
Мы знаем, что $OO_1 = 12$ см и мы вычислили, что $MM_1 = 15$ см. Подставим эти значения в формулу и найдем $BB_1$:
$12 = \frac{BB_1 + 15}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$24 = BB_1 + 15$
Отсюда находим $BB_1$:
$BB_1 = 24 - 15 = 9$ см.

Ответ: 9 см.