Номер 4.28, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.28. Прямая $a$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A$ и $B$ соответственно (рис. $4.20$). Прямая $b$, параллельная прямой $a$, пересекает плоскость $\alpha$ в точке $C$. Постройте точку пересечения прямой $b$ с плоскостью $\beta$.

Рис. $4.20$

Для построения точки пересечения прямой $b$ с плоскостью $\beta$, которую мы обозначим как $D$, воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей.

Алгоритм построения и обоснование:

1. Так как по условию задачи прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), они определяют единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\gamma$. В этой плоскости лежат обе прямые $a$ и $b$, а также точки $A$, $B$ и $C$.

2. Найдем линию пересечения плоскости $\gamma$ с плоскостью $\alpha$. Точки $A$ и $C$ по условию лежат в плоскости $\alpha$. По построению они также лежат в плоскости $\gamma$. Следовательно, прямая, проходящая через точки $A$ и $C$, является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$. Проведем прямую $AC$.

3. Рассмотрим три плоскости: $\alpha$, $\beta$ и построенную нами $\gamma$. Пусть $m$ — это линия пересечения исходных плоскостей $\alpha$ и $\beta$ ($m = \alpha \cap \beta$), которая видна на рисунке. Согласно теореме о трех пересекающихся плоскостях, три линии их попарного пересечения ($AC = \alpha \cap \gamma$, $m = \alpha \cap \beta$ и линия пересечения $l = \beta \cap \gamma$) либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны.

4. Найдем точку пересечения прямых $AC$ и $m$. Обе эти прямые лежат в плоскости $\alpha$, поэтому они пересекутся (если не параллельны). Обозначим эту точку пересечения как $P$. Эта точка $P$ будет общей для всех трех плоскостей.

5. Искомая точка $D$ должна лежать на прямой $b$ и в плоскости $\beta$. Поскольку $b \subset \gamma$, точка $D$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$. Мы обозначили эту линию как $l$. Из пункта 3 следует, что эта линия $l$ также проходит через точку $P$.

6. Точка $B$ по условию лежит в плоскости $\beta$, а также на прямой $a$, которая находится в плоскости $\gamma$. Следовательно, точка $B$ также принадлежит линии пересечения $l$. Таким образом, линия $l$ однозначно определяется двумя точками: $B$ и $P$. Проведем прямую $BP$.

7. Так как искомая точка $D$ лежит и на прямой $b$, и на прямой $l=BP$, она является точкой их пересечения. Найдем точку пересечения прямых $b$ и $BP$ — это и будет искомая точка $D$.

Примечание: В частном случае, если прямая $AC$ окажется параллельной прямой $m$, то, согласно теореме, линия пересечения $l$ будет параллельна им обеим. Тогда для построения нужно через точку $B$ провести прямую, параллельную $AC$, и найти ее точку пересечения с прямой $b$.

Ответ: Искомая точка $D$ — это точка пересечения прямой $b$ и прямой $BP$, где $P$ — точка пересечения прямой $AC$ с линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.