Номер 4.30, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.30. На грани $ADC$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $M$ (рис. 4.22). Постройте точку, в которой прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $BD$, пересекает плоскость $ABC$.

Рис. 4.22

Для построения искомой точки пересечения воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. Пусть $l$ — прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $BD$. Нам нужно найти точку $P$, в которой прямая $l$ пересекает плоскость $ABC$, то есть $P = l \cap (ABC)$.

Для этого построим вспомогательную плоскость $\pi$, которая содержит прямую $l$. Поскольку прямая $l$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $BD$, то и вся плоскость $\pi$ должна содержать точку $M$ и быть параллельной $BD$. Наиболее удобным выбором для $\pi$ будет плоскость, проходящая через точку $M$ и прямую $BD$. Обозначим эту плоскость $(MBD)$.

Искомая точка $P$ принадлежит как прямой $l$, так и плоскости $ABC$. Так как прямая $l$ целиком лежит в плоскости $(MBD)$, то точка $P$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $(MBD)$ и $(ABC)$. Найдем эту линию пересечения.

Точка $B$ очевидно принадлежит обеим плоскостям. Чтобы найти вторую общую точку, рассмотрим пересечение плоскости $(MBD)$ с плоскостью грани $ADC$, в которой лежит точка $M$. Линией пересечения плоскостей $(MBD)$ и $(ADC)$ является прямая $DM$, так как обе точки $D$ и $M$ принадлежат этим двум плоскостям.

Прямая $DM$ лежит в плоскости $ADC$ и пересекает ребро $AC$ (которое также лежит в этой плоскости) в некоторой точке. Обозначим эту точку $K$. Таким образом, $K = DM \cap AC$.

Точка $K$ принадлежит прямой $AC$, следовательно, она принадлежит плоскости $ABC$. Точка $K$ также принадлежит прямой $DM$, следовательно, она принадлежит плоскости $(MBD)$. Это означает, что $K$ — вторая общая точка плоскостей $(MBD)$ и $(ABC)$.

Таким образом, линия пересечения плоскостей $(MBD)$ и $(ABC)$ — это прямая, проходящая через их общие точки $B$ и $K$, то есть прямая $BK$.

Искомая точка $P$ должна лежать на прямой $BK$. Также, по условию, точка $P$ лежит на прямой $l$, которая проходит через $M$ параллельно $BD$. Обе прямые, $l$ и $BK$, лежат в одной плоскости $(MBD)$ (она же плоскость $(BDK)$). Так как в общем случае для тетраэдра прямые $BD$ и $BK$ не параллельны, то и прямая $l$ (параллельная $BD$) не будет параллельна $BK$. Следовательно, прямые $l$ и $BK$ пересекаются. Точка их пересечения и является искомой точкой $P$.

На основе этих рассуждений можно сформулировать следующий алгоритм построения.

Алгоритм построения:

1. Соединить точки $D$ и $M$ и провести прямую $DM$.
2. Найти точку пересечения прямой $DM$ с прямой $AC$. Обозначить эту точку $K$.
3. Провести прямую через точки $B$ и $K$.
4. В плоскости $(BDK)$ через точку $M$ провести прямую $l$ параллельно прямой $BD$.
5. Точка пересечения прямой $l$ с прямой $BK$ является искомой точкой $P$.

Обоснование:

Построенная точка $P$ удовлетворяет условиям задачи. Во-первых, она лежит на прямой $l$, проходящей через точку $M$ параллельно $BD$ (согласно шагу 4 построения). Во-вторых, она лежит в плоскости $ABC$. Это следует из того, что точка $P$ лежит на прямой $BK$ (согласно шагу 5), а прямая $BK$ целиком лежит в плоскости $ABC$, так как обе точки, $B$ и $K$ (где $K \in AC$), принадлежат плоскости $ABC$.

Ответ: Точка $P$, построенная согласно приведенному алгоритму, является искомой точкой пересечения. Алгоритм построения: 1. Найти точку $K$ как пересечение прямых $DM$ и $AC$. 2. Провести прямую $BK$. 3. Через точку $M$ провести прямую, параллельную $BD$. 4. Искомая точка $P$ является пересечением прямой из шага 3 и прямой $BK$.