Номер 4.24, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.24. На отрезке $AB$, пересекающем плоскость $\alpha$, отмечена точка $C$ так, что $AC : BC = 5 : 3$. Через точки $A$, $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите отрезок $AA_1$, если $BB_1 = 10$ см, $CC_1 = 4$ см и точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$.

Пусть данные параллельные прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ вместе с прямой, на которой лежат точки $A, B, C$, определяют плоскость $\beta$. Пересечением плоскости $\beta$ с плоскостью $\alpha$ является прямая, на которой лежат точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Таким образом, мы можем рассматривать всю геометрическую конструкцию в одной плоскости $\beta$.

По условию, отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha$. Пусть точка $O$ — точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $\alpha$. Следовательно, точка $O$ лежит на прямой $A_1B_1C_1$.

Также дано, что точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$. Это означает, что точка пересечения $O$ лежит на отрезке $AC$.

Поскольку точка $C$ лежит на отрезке $AB$, а точка $O$ лежит на отрезке $AC$, то порядок точек на прямой следующий: $A-O-C-B$. Из этого следует, что точки $C$ и $B$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$, а точка $A$ — по другую.

Рассмотрим в плоскости $\beta$ треугольники $\triangle AOA_1$ и $\triangle COC_1$. Угол $\angle AOA_1$ равен углу $\angle COC_1$ как вертикальные. Угол $\angle A_1AO$ равен углу $\angle C_1CO$ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AA_1$ и $CC_1$ секущей $AB$. Следовательно, $\triangle AOA_1 \sim \triangle COC_1$ по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:$$ \frac{AA_1}{CC_1} = \frac{AO}{CO} $$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle OCC_1$ и $\triangle OBB_1$. Угол при вершине $O$ является общим для обоих треугольников. Угол $\angle OC_1C$ равен углу $\angle OB_1B$ как соответственные углы при пересечении параллельных прямых $CC_1$ и $BB_1$ секущей $A_1B_1$. Следовательно, $\triangle OCC_1 \sim \triangle OBB_1$ по двум углам. Из их подобия следует:$$ \frac{CC_1}{BB_1} = \frac{OC}{OB} $$

Из полученных пропорций выразим $AO$ и $OB$ через $OC$. Пусть $AA_1 = x$. Нам дано, что $CC_1 = 4$ см и $BB_1 = 10$ см.$$ \frac{x}{4} = \frac{AO}{CO} \implies AO = CO \cdot \frac{x}{4} $$$$ \frac{4}{10} = \frac{OC}{OB} \implies OB = OC \cdot \frac{10}{4} = OC \cdot \frac{5}{2} $$

Из расположения точек $A-O-C-B$ на прямой, длины отрезков $AC$ и $BC$ можно выразить как:$$ AC = AO + OC $$$$ BC = OB - OC $$

Подставим выражения для $AO$ и $OB$:$$ AC = CO \cdot \frac{x}{4} + CO = CO \left( \frac{x}{4} + 1 \right) = CO \frac{x+4}{4} $$$$ BC = OC \cdot \frac{5}{2} - OC = CO \left( \frac{5}{2} - 1 \right) = CO \frac{3}{2} $$

По условию задачи, $AC : BC = 5 : 3$, или $\frac{AC}{BC} = \frac{5}{3}$. Составим уравнение:$$ \frac{CO \frac{x+4}{4}}{CO \frac{3}{2}} = \frac{5}{3} $$Сократив $CO$ (так как $C \neq O$, поскольку $CC_1 = 4 \neq 0$), получим:$$ \frac{\frac{x+4}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{5}{3} $$$$ \frac{x+4}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{3} $$$$ \frac{x+4}{6} = \frac{5}{3} $$Умножим обе части уравнения на 6:$$ x+4 = \frac{5}{3} \cdot 6 $$$$ x+4 = 10 $$$$ x = 6 $$Таким образом, длина отрезка $AA_1$ равна 6 см.

Ответ: 6 см.