Номер 4.27, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.27. Основанием пирамиды $MABCD$ является квадрат $ABCD$, сторона которого равна 12 см. Найдите расстояние между точками пересечения медиан граней $AMD$ и $DMC$.

Пусть $O_1$ — точка пересечения медиан грани $AMD$, а $O_2$ — точка пересечения медиан грани $DMC$. Точка пересечения медиан треугольника, также называемая центроидом, делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Рассмотрим грань $AMD$, которая является треугольником. Проведем медиану $MK$ из вершины $M$ к стороне $AD$. Точка $K$ является серединой стороны $AD$. Точка $O_1$ лежит на отрезке $MK$, и по свойству медиан:
$MO_1 : O_1K = 2:1$, из чего следует, что $MO_1 = \frac{2}{3} MK$.

Аналогично для грани $DMC$. Проведем медиану $ML$ из вершины $M$ к стороне $DC$. Точка $L$ является серединой стороны $DC$. Точка $O_2$ лежит на отрезке $ML$, и по свойству медиан:
$MO_2 : O_2L = 2:1$, из чего следует, что $MO_2 = \frac{2}{3} ML$.

Рассмотрим треугольник $MKL$. Точки $O_1$ и $O_2$ лежат на его сторонах $MK$ и $ML$ соответственно. Так как $\frac{MO_1}{MK} = \frac{MO_2}{ML} = \frac{2}{3}$, то треугольник $MO_1O_2$ подобен треугольнику $MKL$ по второму признаку подобия (угол при вершине $M$ у них общий, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия:
$\frac{O_1O_2}{KL} = \frac{2}{3}$
Следовательно, искомое расстояние $O_1O_2 = \frac{2}{3} KL$.

Теперь необходимо найти длину отрезка $KL$. В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$ со стороной 12 см. Точка $K$ — середина $AD$, а точка $L$ — середина $DC$. Рассмотрим треугольник $ADC$ в плоскости основания. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AD$ и $DC$, а значит, $KL$ является средней линией треугольника $ADC$.

По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине:
$KL = \frac{1}{2} AC$.

Найдем длину диагонали $AC$ квадрата $ABCD$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ADC$:
$AC^2 = AD^2 + DC^2$
$AC^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288$
$AC = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$ см.

Теперь можем найти длину средней линии $KL$:
$KL = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Наконец, найдем искомое расстояние $O_1O_2$:
$O_1O_2 = \frac{2}{3} KL = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{2} = \frac{12\sqrt{2}}{3} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.