Номер 4.29, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.29. Прямая $a$, принадлежащая плоскости $\alpha$, параллельна прямой $m$ — линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ (рис. 4.21). Точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\beta$. Существуют ли на прямой $a$ такие точки $C$ и $D$, что $AC \parallel BD$?

Рис. 4.21

Для ответа на этот вопрос рассмотрим два случая, в зависимости от расположения прямой $AB$ относительно прямой $m$.

Предположим, что такие точки $C$ и $D$ на прямой $a$ существуют, что $AC \parallel BD$.

Если две прямые параллельны ($AC \parallel BD$), то они лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость $\gamma$. Следовательно, все четыре точки $A, B, C, D$ лежат в плоскости $\gamma$.

Поскольку точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\gamma$, то и вся прямая $AB$ лежит в плоскости $\gamma$ ($AB \subset \gamma$).

Поскольку точки $C$ и $D$ лежат на прямой $a$, то и вся прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$).

Теперь у нас есть три плоскости: $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Рассмотрим линии их попарного пересечения:

• Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $m$ (по условию): $\alpha \cap \beta = m$.
• Плоскости $\alpha$ и $\gamma$ пересекаются по прямой $a$, так как $a \subset \alpha$ (по условию) и $a \subset \gamma$ (по нашему построению). Таким образом, $\alpha \cap \gamma = a$.
• Плоскости $\beta$ и $\gamma$ пересекаются по прямой $AB$, так как $A, B \in \beta$ (по условию) и $AB \subset \gamma$ (по нашему построению). Таким образом, $\beta \cap \gamma = AB$.

Согласно теореме о трех плоскостях, если три плоскости попарно пересекаются, то их линии пересечения либо параллельны, либо пересекаются в одной точке. В нашем случае это прямые $a, m$ и $AB$.

По условию задачи, прямая $a$ параллельна прямой $m$ ($a \parallel m$). Так как две из трех линий пересечения параллельны, то и третья линия должна быть им параллельна. Следовательно, $AB \parallel m \parallel a$.

Таким образом, мы доказали, что необходимым условием существования таких точек $C$ и $D$ является параллельность прямой $AB$ линии пересечения $m$.

Теперь докажем, что это условие является достаточным. Пусть прямая $AB$ параллельна прямой $m$ ($AB \parallel m$).

Так как по условию $a \parallel m$, а мы предположили, что $AB \parallel m$, то по свойству транзитивности параллельных прямых получаем, что $a \parallel AB$.

Две параллельные прямые ($a$ и $AB$) однозначно задают плоскость. Назовем ее $\gamma$. В этой плоскости мы имеем две параллельные прямые. Нам нужно найти на прямой $a$ такие точки $C$ и $D$, чтобы $AC \parallel BD$.

Выберем на прямой $a$ произвольную точку $C$. Построим в плоскости $\gamma$ четырехугольник $ABDC$ так, чтобы он был параллелограммом. Для этого нужно отложить от точки $C$ вектор $\vec{CD}$, равный вектору $\vec{BA}$. Так как вектор $\vec{BA}$ коллинеарен прямой $AB$, а прямая $AB$ параллельна прямой $a$, то вектор $\vec{CD}$ будет коллинеарен прямой $a$. Поскольку точка $C$ лежит на прямой $a$, то и точка $D$ также будет лежать на прямой $a$.

В построенном параллелограмме $ABDC$ противоположные стороны попарно параллельны. Значит, $AC \parallel BD$.

Таким образом, если $AB \parallel m$, то такие точки $C$ и $D$ существуют (причем их можно выбрать бесконечным числом способов). Если же прямая $AB$ не параллельна $m$, то такие точки не существуют.

Ответ: Такие точки $C$ и $D$ на прямой $a$ существуют тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, параллельна линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть $AB \parallel m$.