Номер 4.23, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.23. Через концы отрезка $AB$, пересекающего плоскость $\alpha$, и его середину $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно (рис. 4.19). Найдите отрезок $CC_1$, если $AA_1 = 16$ см, $BB_1 = 8$ см.

Рис. 4.19

Поскольку прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны по условию, а точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой (так как $C$ — середина отрезка $AB$), то все эти три прямые и отрезок $AB$ лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость $\beta$.

Плоскость $\beta$ пересекает данную плоскость $\alpha$ по прямой. Так как точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ являются точками пересечения прямых $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ с плоскостью $\alpha$, они лежат на этой прямой пересечения. Таким образом, точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ также лежат на одной прямой.

Рассмотрим фигуру $AA_1B_1B$, лежащую в плоскости $\beta$. Так как прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, этот четырехугольник является трапецией, где $AA_1$ и $BB_1$ — основания, а $AB$ и $A_1B_1$ — боковые стороны.

Из условия, что отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha$, следует, что точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от плоскости $\alpha$. Это означает, что основания трапеции $AA_1$ и $BB_1$ расположены по разные стороны от прямой $A_1B_1$.

Точка $C$ является серединой боковой стороны $AB$. Отрезок $CC_1$ параллелен основаниям $AA_1$ и $BB_1$ и соединяет середину боковой стороны $AB$ с точкой $C_1$ на другой боковой стороне $A_1B_1$. Согласно теореме Фалеса, точка $C_1$ является серединой боковой стороны $A_1B_1$. Таким образом, отрезок $CC_1$ является средней линией трапеции $AA_1B_1B$.

Для случая, когда основания трапеции лежат по разные стороны от прямой, содержащей другую боковую сторону, длина средней линии равна полуразности длин оснований. Пусть длины оснований равны $a = AA_1 = 16$ см и $b = BB_1 = 8$ см. Тогда длина $CC_1$ вычисляется по формуле:

$CC_1 = \frac{|a - b|}{2}$

Подставим заданные значения в формулу:

$CC_1 = \frac{|16 - 8|}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Ответ: 4 см.