Номер 4.22, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.22. Точка $M$ не принадлежит ни одной из параллельных прямых $a$ и $b$. Известно, что через точку $M$ можно провести прямую, пересекающую каждую из прямых $a$ и $b$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ и точка $M$ лежат в одной плоскости.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) и точка $M$, не принадлежащая ни одной из этих прямых ($M \notin a$ и $M \notin b$). По условию задачи, существует прямая $c$, которая проходит через точку $M$ ($M \in c$) и пересекает прямые $a$ и $b$. Обозначим точки пересечения как $A$ и $B$ соответственно, то есть $A = c \cap a$ и $B = c \cap b$.

1. Согласно аксиоме стереометрии, через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Так как по условию прямые $a$ и $b$ параллельны, они определяют некоторую плоскость $\alpha$. Это означает, что обе прямые полностью лежат в этой плоскости: $a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$.

2. Рассмотрим точку пересечения $A$. Так как точка $A$ принадлежит прямой $a$ ($A \in a$), а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), следовательно, точка $A$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$).

3. Аналогично рассмотрим точку пересечения $B$. Так как точка $B$ принадлежит прямой $b$ ($B \in b$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$), следовательно, точка $B$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$).

4. Таким образом, мы имеем две различные точки $A$ и $B$, принадлежащие прямой $c$, которые одновременно лежат в плоскости $\alpha$. Согласно следствию из аксиом стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

5. По условию, точка $M$ принадлежит прямой $c$ ($M \in c$). Поскольку мы доказали, что вся прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $M$ должна лежать в этой же плоскости ($M \in \alpha$).

В итоге мы установили, что прямые $a$ и $b$, а также точка $M$, принадлежат одной и той же плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $a$ и $b$ и точка $M$ лежат в одной плоскости.