Номер 4.32, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.32. На рёбрах $AD$, $BD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $M$, $N$ и $K$. Постройте прямую, проходящую через точку $K$ и пересекающую прямые $AN$ и $CM$.

Искомая прямая является линией пересечения двух плоскостей: плоскости, проходящей через точку $K$ и прямую $AN$, и плоскости, проходящей через точку $K$ и прямую $CM$. Обозначим эти плоскости как $(ANK)$ и $(CMK)$ соответственно. Для построения прямой, являющейся их пересечением, достаточно найти две общие точки этих плоскостей. Одной такой точкой является точка $K$. Второй точкой будет точка пересечения прямой $AN$ с плоскостью $(CMK)$ (или прямой $CM$ с плоскостью $(ANK)$). Построим точку пересечения прямой $AN$ с плоскостью $(CMK)$.

1. Строим плоскость $(CMK)$. Эта плоскость однозначно задается тремя точками $C$, $M$ и $K$, которые, в общем случае, не лежат на одной прямой.
2. Находим линию пересечения плоскости $(CMK)$ с плоскостью грани $(ABD)$. Прямая $AN$ лежит в плоскости $(ABD)$.
   • Точка $M$ принадлежит ребру $AD$, поэтому $M$ лежит в плоскости $(ABD)$. Также $M$ является одной из точек, определяющих плоскость $(CMK)$. Следовательно, точка $M$ лежит на линии пересечения плоскостей $(CMK)$ и $(ABD)$.
   • Чтобы найти вторую точку, найдём точку пересечения какой-либо прямой из плоскости $(CMK)$ с плоскостью $(ABD)$. Возьмём прямую $CK$. Прямая $CK$ лежит в плоскости грани $(BCD)$. Плоскость $(BCD)$ пересекается с плоскостью $(ABD)$ по прямой $BD$.
   • В плоскости грани $(BCD)$ строим точку пересечения прямых $CK$ и $BD$. Обозначим эту точку $F$. Таким образом, $F = CK \cap BD$.
   • Точка $F$ принадлежит прямой $CK$ и, следовательно, плоскости $(CMK)$. Точка $F$ принадлежит прямой $BD$ и, следовательно, плоскости $(ABD)$. Значит, $F$ — это вторая точка на линии пересечения плоскостей $(CMK)$ и $(ABD)$.
   • Соединив точки $M$ и $F$, получаем прямую $MF$, которая является линией пересечения плоскостей $(CMK)$ и $(ABD)$.
3. Находим точку пересечения прямой $AN$ с плоскостью $(CMK)$.
   • Прямые $AN$ и $MF$ обе лежат в одной плоскости — $(ABD)$. В общем случае они пересекаются. Найдём их точку пересечения и обозначим её $P$. Таким образом, $P = AN \cap MF$.
   • Точка $P$ принадлежит прямой $AN$.
   • Точка $P$ принадлежит прямой $MF$, которая лежит в плоскости $(CMK)$. Следовательно, точка $P$ принадлежит плоскости $(CMK)$.
   • Значит, $P$ — это точка пересечения прямой $AN$ с плоскостью $(CMK)$.
4. Строим искомую прямую.
   • Искомая прямая должна проходить через точку $K$ и пересекать прямую $AN$. Мы нашли такую точку пересечения — $P$.
   • Проводим прямую через точки $K$ и $P$. Прямая $KP$ является искомой.

Проверим, что построенная прямая $KP$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Прямая $KP$ проходит через точку $K$ по построению.
2. Прямая $KP$ пересекает прямую $AN$ в точке $P$ по построению.
3. Докажем, что прямая $KP$ пересекает прямую $CM$.
   • Точка $K$ по условию лежит на ребре $BC$, поэтому $K \in (CMK)$.
   • Точка $P$ была найдена как $P = AN \cap MF$. Так как прямая $MF$ является линией пересечения плоскостей $(CMK)$ и $(ABD)$, то $MF \subset (CMK)$. Следовательно, $P \in (CMK)$.
   • Поскольку обе точки, $K$ и $P$, лежат в плоскости $(CMK)$, то и вся прямая $KP$ лежит в этой плоскости.
   • Прямая $CM$ по определению также лежит в плоскости $(CMK)$.
   • Так как обе прямые, $KP$ и $CM$, лежат в одной плоскости $(CMK)$, они либо пересекаются, либо параллельны. В общем случае расположения точек прямые пересекаются.

Таким образом, построенная прямая $KP$ является искомой.

Ответ: Искомая прямая — это прямая $KP$, где $P = AN \cap MF$, а $F = CK \cap BD$.