Номер 4.35, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.35. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AM$ и $CK$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $MBK$, если $AC = 4\sqrt{3}$ см и $\angle ABC = 30^{\circ}$.

Пусть $R$ — искомый радиус окружности, описанной около треугольника $MBK$. Воспользуемся следствием из теоремы синусов, согласно которому радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла.

Для треугольника $MBK$ эта формула имеет вид: $R = \frac{MK}{2 \sin(\angle MBK)}$

Угол $\angle MBK$ совпадает с углом $\angle ABC$ исходного треугольника, поэтому $\angle MBK = 30^\circ$. Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, формула для радиуса принимает вид: $R = \frac{MK}{2 \cdot \frac{1}{2}} = MK$. Следовательно, задача сводится к нахождению длины стороны $MK$.

Рассмотрим треугольники $\triangle KBM$ и $\triangle CBA$. Угол $\angle B$ у них общий. Найдем отношение сторон, прилежащих к этому углу.

Поскольку $AM$ и $CK$ — высоты, треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle CKB$ являются прямоугольными.

Из прямоугольного треугольника $\triangle CKB$ (с прямым углом $\angle K$): $\cos(\angle B) = \frac{BK}{BC}$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle AMB$ (с прямым углом $\angle M$): $\cos(\angle B) = \frac{BM}{AB}$.

Таким образом, мы имеем равенство отношений: $\frac{BK}{BC} = \frac{BM}{AB} = \cos(\angle B)$.

Это означает, что треугольник $\triangle KBM$ подобен треугольнику $\triangle CBA$ по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Коэффициент подобия $k$ равен $\cos(\angle B)$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их третьих сторон ($MK$ и $AC$) также равно коэффициенту подобия: $\frac{MK}{AC} = k = \cos(\angle B)$.

Отсюда выразим длину стороны $MK$: $MK = AC \cdot \cos(\angle B)$.

Подставим известные значения из условия задачи: $AC = 4\sqrt{3}$ см и $\angle B = 30^\circ$. Значение косинуса: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Вычислим $MK$: $MK = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Так как мы ранее установили, что $R = MK$, то искомый радиус равен 6 см.

Ответ: 6 см.