Номер 5.5, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.5. Даны прямые $a$ и $b$ и плоскость $\alpha$. Верно ли утверждение:

1) если $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel b$;

2) если $a \parallel b$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel \alpha$;

3) если $a \parallel b$ и $b \subset \alpha$, то $a \parallel \alpha$?

1) если $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel b$

Данное утверждение неверно. Две прямые, параллельные одной и той же плоскости, не обязательно параллельны друг другу. Они могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.

Рассмотрим контрпример. Пусть $\alpha$ — это плоскость $z=0$ в декартовой системе координат.

• Прямая $a$ задана уравнениями $y=0, z=1$. Она параллельна оси $Ox$ и лежит в плоскости $z=1$. Прямая $a$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$, следовательно $a \parallel \alpha$.
• Прямая $b$ задана уравнениями $x=0, z=1$. Она параллельна оси $Oy$ и лежит в той же плоскости $z=1$. Прямая $b$ также не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$, следовательно $b \parallel \alpha$.

Однако прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $(0, 0, 1)$ и не являются параллельными. Таким образом, из того, что $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$, не следует, что $a \parallel b$.

Ответ: утверждение неверно.

2) если $a \parallel b$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel \alpha$

Данное утверждение неверно. По определению, прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек.

Рассмотрим контрпример. Пусть прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$). Возьмем прямую $b$, параллельную прямой $a$ ($b \parallel a$), но не лежащую в плоскости $\alpha$.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая ($b$), не лежащая в плоскости ($\alpha$), параллельна какой-либо прямой ($a$), лежащей в этой плоскости, то эта прямая ($b$) параллельна данной плоскости ($\alpha$).

В нашем примере условия утверждения выполнены:

• $a \parallel b$ (по построению).
• $b \parallel \alpha$ (согласно признаку параллельности, так как $b \parallel a$ и $a \subset \alpha$).

Однако заключение "$a \parallel \alpha$" неверно, так как мы изначально выбрали прямую $a$ лежащей в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), а значит, она имеет с ней бесконечно много общих точек и не является ей параллельной.

Ответ: утверждение неверно.

3) если $a \parallel b$ и $b \subset \alpha$, то $a \parallel \alpha$?

Данное утверждение неверно. Оно представляет собой признак параллельности прямой и плоскости, но в нем отсутствует важное условие: прямая $a$ не должна лежать в плоскости $\alpha$. Если это условие не выполняется, утверждение может быть ложным.

Приведем контрпример. Пусть в плоскости $\alpha$ лежат две различные параллельные прямые $a$ и $b$.

В этом случае условия утверждения выполнены:

• $a \parallel b$ (по построению).
• $b \subset \alpha$ (по построению).

Однако заключение "$a \parallel \alpha$" является ложным. Прямая $a$ сама лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$) и имеет с ней бесконечное множество общих точек, а не ноль, как того требует определение параллельности прямой и плоскости.

Ответ: утверждение неверно.