Номер 5.10, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.10. Точки $E$ и $F$ — середины соответственно боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$. Прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$, отличной от плоскости трапеции. Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны плоскости $\alpha$.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ являются основаниями, а $AB$ и $CD$ — боковыми сторонами. Точки $E$ и $F$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. По определению, отрезок $EF$ является средней линией трапеции $ABCD$.

Согласно свойству средней линии трапеции, она параллельна ее основаниям. Следовательно, мы имеем: $EF \parallel AD$ и $EF \parallel BC$.

Из условия задачи известно, что прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$ (то есть $EF \subset \alpha$), и плоскость $\alpha$ не совпадает с плоскостью трапеции $ABCD$.

Для доказательства параллельности прямых $AD$ и $BC$ плоскости $\alpha$ воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Доказательство для прямой $AD$:
1. Прямая $AD$ параллельна прямой $EF$ ($AD \parallel EF$) по свойству средней линии трапеции.
2. Прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$ ($EF \subset \alpha$) по условию.
3. Прямая $AD$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($AD \not\subset \alpha$). Докажем это методом от противного. Предположим, что прямая $AD$ лежит в плоскости $\alpha$. Тогда две параллельные прямые $AD$ и $EF$ обе лежат в плоскости $\alpha$. Две параллельные прямые однозначно определяют плоскость. В данном случае это плоскость трапеции $ABCD$. Следовательно, плоскость трапеции должна совпадать с плоскостью $\alpha$, что противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно, и $AD \not\subset \alpha$.
Так как прямая $AD$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $EF$, которая лежит в этой плоскости, то по признаку параллельности прямой и плоскости $AD \parallel \alpha$.

Доказательство для прямой $BC$:
1. Прямая $BC$ параллельна прямой $EF$ ($BC \parallel EF$) по свойству средней линии трапеции.
2. Прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$ ($EF \subset \alpha$) по условию.
3. Прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($BC \not\subset \alpha$). Доказательство аналогично предыдущему пункту. Если предположить, что $BC \subset \alpha$, то плоскость, определяемая параллельными прямыми $BC$ и $EF$ (плоскость трапеции), будет совпадать с плоскостью $\alpha$, что противоречит условию.
Таким образом, прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $EF$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости $BC \parallel \alpha$.

Мы доказали, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны плоскости $\alpha$.

Ответ: Что и требовалось доказать.