Номер 5.15, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.15. Вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ принадлежат плоскости $\alpha$, а вершина $B$ не принадлежит этой плоскости. На сторонах $AB$ и $BC$ отмечены соответственно точки $E$ и $F$ так, что $BA : BE = BC : BF$. Докажите, что прямая $EF$ параллельна плоскости $\alpha$.

По условию задачи вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ принадлежат плоскости $\alpha$, а вершина $B$ не принадлежит этой плоскости. Это означает, что $A \in \alpha$, $C \in \alpha$ и $B \notin \alpha$.Поскольку точки $A$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $AC$, проходящая через эти точки, также целиком лежит в плоскости $\alpha$, то есть $AC \subset \alpha$.

Для доказательства того, что прямая $EF$ параллельна плоскости $\alpha$, достаточно доказать, что прямая $EF$ параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. Докажем, что прямая $EF$ параллельна прямой $AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle EBF$.
1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
2. По условию дано соотношение $BA : BE = BC : BF$. Это соотношение можно записать в виде пропорции для сторон, прилежащих к общему углу $\angle B$: $\frac{BE}{BA} = \frac{BF}{BC}$.

Таким образом, две стороны треугольника $\triangle EBF$ пропорциональны двум сторонам треугольника $\triangle ABC$, а угол между этими сторонами у них общий. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle EBF$ подобен треугольнику $\triangle ABC$: $\triangle EBF \sim \triangle ABC$.

Из подобия треугольников следует равенство их соответственных углов. В частности, соответственные углы при вершинах $E$ и $A$ равны: $\angle BEF = \angle BAC$.Эти углы являются соответственными при пересечении прямых $EF$ и $AC$ секущей $AB$. Поскольку эти соответственные углы равны, то прямые $EF$ и $AC$ параллельны: $EF \parallel AC$.

Мы получили, что:
1. Прямая $EF$ параллельна прямой $AC$ ($EF \parallel AC$).
2. Прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$).
3. Прямая $EF$ не лежит в плоскости $\alpha$. Если бы $EF$ лежала в $\alpha$, то точки $E$ и $F$ принадлежали бы $\alpha$. Тогда прямые $AB$ (как проходящая через точки $A \in \alpha$ и $E \in \alpha$) и $BC$ (как проходящая через $C \in \alpha$ и $F \in \alpha$) целиком лежали бы в плоскости $\alpha$. А значит, и их точка пересечения $B$ также лежала бы в $\alpha$, что противоречит условию $B \notin \alpha$.

По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Следовательно, прямая $EF$ параллельна плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.