Номер 5.18, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.18. На ребре $A_1B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку K (рис. 5.20). Постройте линию пересечения плоскостей:

1) $CC_1K$ и $ABB_1$;

2) $CDK$ и $ABB_1$.

Рис. 5.20

1) $CC_1K$ и $ABB_1$

Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две общие точки этих плоскостей, либо одну общую точку и направление линии пересечения.

Плоскость $ABB_1$ – это плоскость грани $ABB_1A_1$.

1. Найдем одну общую точку. Точка $K$ по условию принадлежит ребру $A_1B_1$. Ребро $A_1B_1$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$. Следовательно, точка $K$ принадлежит плоскости $ABB_1$. Также точка $K$ по определению принадлежит плоскости $CC_1K$. Таким образом, $K$ – общая точка двух плоскостей, а значит, она лежит на линии их пересечения.

2. Найдем направление линии пересечения. В прямоугольном параллелепипеде противоположные грани параллельны. Значит, плоскость грани $ABB_1A_1$ параллельна плоскости грани $DCC_1D_1$, то есть $(ABB_1) \parallel (DCC_1)$.

Плоскость $CC_1K$ пересекает плоскость $DCC_1$ по прямой $CC_1$.

По свойству пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, линии их пересечения параллельны. Следовательно, линия пересечения плоскости $CC_1K$ с плоскостью $ABB_1$ должна быть параллельна линии $CC_1$.

3. Построение. Мы знаем, что линия пересечения проходит через точку $K$ и параллельна прямой $CC_1$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную $CC_1$. Так как в параллелепипеде $CC_1 \parallel BB_1 \parallel AA_1$, то эта прямая будет параллельна ребру $AA_1$ и лежать в плоскости $ABB_1A_1$.

Эта прямая и является искомой линией пересечения.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $CC_1K$ и $ABB_1$ – это прямая, проходящая через точку $K$ параллельно прямой $CC_1$.

2) $CDK$ и $ABB_1$

Аналогично первому пункту, найдем одну общую точку и направление линии пересечения.

1. Найдем одну общую точку. Как и в предыдущем пункте, точка $K$ принадлежит ребру $A_1B_1$, которое лежит в плоскости $ABB_1$. Точка $K$ также принадлежит плоскости $CDK$ по определению. Следовательно, $K$ – общая точка плоскостей $CDK$ и $ABB_1$.

2. Найдем направление линии пересечения. Прямая $CD$ принадлежит плоскости $CDK$. В параллелепипеде ребра, принадлежащие параллельным граням, параллельны, поэтому $CD \parallel AB$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $ABB_1$. Если прямая ($CD$), не лежащая в плоскости ($ABB_1$), параллельна некоторой прямой ($AB$), лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Таким образом, $CD \parallel (ABB_1)$.

По свойству, если плоскость ($CDK$) проходит через прямую ($CD$), параллельную другой плоскости ($ABB_1$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой ($CD$).

Следовательно, линия пересечения плоскостей $CDK$ и $ABB_1$ проходит через точку $K$ и параллельна прямой $CD$.

3. Построение. В параллелепипеде $CD \parallel AB \parallel A_1B_1$. Нам нужно построить прямую, проходящую через точку $K$ и параллельную $CD$. Так как $K \in A_1B_1$ и $A_1B_1 \parallel CD$, то искомая прямая совпадает с прямой $A_1B_1$.

Таким образом, линия пересечения плоскостей $CDK$ и $ABB_1$ – это прямая $A_1B_1$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $CDK$ и $ABB_1$ – это прямая $A_1B_1$.