Номер 5.19, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.19. Точка $M$ — середина ребра $DC$ тетраэдра $DABC$ (рис. 5.21). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной прямым $AD$ и $BD$. Вычислите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра равно $a$.

Рис. 5.21

Рассмотрим тетраэдр $DABC$, у которого точка $M$ является серединой ребра $DC$. Нам требуется построить сечение плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной прямым $AD$ и $BD$, а затем вычислить площадь этого сечения, если каждое ребро тетраэдра равно $a$.

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M и параллельной прямым AD и BD.

Плоскость сечения $\alpha$ проходит через точку $M$ и параллельна прямым $AD$ и $BD$. Так как прямые $AD$ и $BD$ пересекаются в точке $D$, они определяют плоскость $ABD$. Если плоскость $\alpha$ параллельна двум пересекающимся прямым $AD$ и $BD$, то она параллельна плоскости, содержащей эти прямые, то есть плоскости $ABD$.

Для построения сечения воспользуемся свойствами параллельности:

1. Плоскость сечения $\alpha$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $AD$. Рассмотрим грань $ADC$. Поскольку $M$ – середина ребра $DC$, и плоскость $\alpha$ должна пересекать грань $ADC$ по прямой, параллельной $AD$, проведем через $M$ прямую, параллельную $AD$, до пересечения с ребром $AC$. Пусть точка пересечения будет $P$. Тогда $MP \parallel AD$. По теореме Фалеса (или как свойство средней линии треугольника), если $M$ – середина $DC$ и $MP \parallel AD$, то $P$ является серединой ребра $AC$.
2. Аналогично, плоскость сечения $\alpha$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $BD$. Рассмотрим грань $DBC$. Проведем через $M$ прямую, параллельную $BD$, до пересечения с ребром $BC$. Пусть точка пересечения будет $Q$. Тогда $MQ \parallel BD$. По теореме Фалеса, если $M$ – середина $DC$ и $MQ \parallel BD$, то $Q$ является серединой ребра $BC$.
3. Соединим точки $P$ и $Q$. Отрезок $PQ$ лежит в плоскости сечения.

Таким образом, сечением тетраэдра является треугольник $MPQ$. Проверим, что плоскость $MPQ$ параллельна заданным прямым. Прямая $MP$ в плоскости $MPQ$ параллельна $AD$. Прямая $MQ$ в плоскости $MPQ$ параллельна $BD$. Поскольку плоскость $MPQ$ содержит две пересекающиеся прямые ($MP$ и $MQ$), которые соответственно параллельны прямым $AD$ и $BD$, то плоскость $MPQ$ параллельна плоскости $ABD$, содержащей $AD$ и $BD$.

Ответ: Сечением является треугольник $MPQ$, где $P$ – середина ребра $AC$, а $Q$ – середина ребра $BC$.

Вычислите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра равно a.

По условию, каждое ребро тетраэдра равно $a$. Это означает, что все грани тетраэдра $DABC$ являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Определим длины сторон треугольника $MPQ$:

1. Отрезок $MP$ является средней линией треугольника $ADC$, так как $M$ – середина $DC$ и $P$ – середина $AC$. Следовательно, длина $MP$ равна половине длины стороны $AD$. Поскольку $AD = a$, то $MP = \frac{a}{2}$.
2. Отрезок $MQ$ является средней линией треугольника $DBC$, так как $M$ – середина $DC$ и $Q$ – середина $BC$. Следовательно, длина $MQ$ равна половине длины стороны $BD$. Поскольку $BD = a$, то $MQ = \frac{a}{2}$.
3. Отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $ABC$, так как $P$ – середина $AC$ и $Q$ – середина $BC$. Следовательно, длина $PQ$ равна половине длины стороны $AB$. Поскольку $AB = a$, то $PQ = \frac{a}{2}$.

Все стороны треугольника $MPQ$ равны $\frac{a}{2}$. Таким образом, треугольник $MPQ$ является равносторонним треугольником со стороной $s = \frac{a}{2}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$.

Подставим значение стороны $s = \frac{a}{2}$ в формулу площади:

$S_{MPQ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{a}{2}\right)^2$

$S_{MPQ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{4}$

$S_{MPQ} = \frac{\sqrt{3}a^2}{16}$

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{3}a^2}{16}$.