Номер 5.16, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.16. Точка $M$ — середина стороны $AB$ треугольника $ABC$. Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ параллельно прямой $AC$ и пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Докажите, что точка $K$ — середина стороны $BC$. Найдите площадь четырёхугольника $AMKC$, если площадь треугольника $ABC$ равна 28 см$^2$.

Докажите, что точка K — середина стороны BC.

Плоскость треугольника $ABC$ и плоскость $\alpha$ пересекаются. Линия их пересечения проходит через точки $M$ и $K$, то есть является прямой $MK$.

По условию, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$. Прямая $AC$ лежит в плоскости $ABC$.

Существует теорема: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. В нашем случае, если плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$, то линия пересечения $MK$ плоскости $\alpha$ и плоскости $ABC$ (в которой лежит прямая $AC$) параллельна прямой $AC$.

Итак, мы установили, что $MK \parallel AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$ как плоскую фигуру. По условию, точка $M$ — середина стороны $AB$. Через точку $M$ проведена прямая $MK$, параллельная стороне $AC$.

По теореме Фалеса, если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Применительно к нашей задаче, так как $M$ - середина $AB$ ($AM = MB$) и $MK \parallel AC$, то прямая $MK$ делит сторону $BC$ пополам. Следовательно, точка $K$ является серединой стороны $BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Найдите площадь четырёхугольника AMKC, если площадь треугольника ABC равна 28 см².

Рассмотрим треугольники $\triangle MBK$ и $\triangle ABC$.

1. Угол $\angle B$ у них общий.

2. Так как $MK \parallel AC$, то $\angle BMK = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, треугольник $\triangle MBK$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{BM}{BA}$

Поскольку $M$ — середина стороны $AB$, то $BM = \frac{1}{2}AB$. Тогда коэффициент подобия: $k = \frac{\frac{1}{2}AB}{AB} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{\triangle MBK}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда можно найти площадь треугольника $\triangle MBK$, зная, что $S_{\triangle ABC} = 28$ см²: $S_{\triangle MBK} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4} \cdot 28 = 7$ см²

Четырёхугольник $AMKC$ является трапецией (так как $MK \parallel AC$). Его площадь можно найти как разность площадей треугольника $ABC$ и треугольника $MBK$: $S_{AMKC} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle MBK} = 28 - 7 = 21$ см²

Ответ: 21 см².