Номер 5.17, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.17. На ребре $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$ (рис. 5.19). Постройте линию пересечения плоскостей:

1) $ADM$ и $BB_1C_1$;

2) $AA_1M$ и $DCC_1$.

Рис. 5.19

1) ADM и BB₁C₁

Для того чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, $(ADM)$ и $(BB_1C_1)$, необходимо найти две общие точки этих плоскостей, либо одну общую точку и направление линии пересечения.

1. Найдём общую точку. По условию, точка $M$ расположена на ребре $CC_1$. Ребро $CC_1$ принадлежит грани $BCC_1B_1$, следовательно, точка $M$ принадлежит плоскости $(BB_1C_1)$. По определению, точка $M$ также принадлежит и плоскости $(ADM)$. Таким образом, $M$ — это общая точка двух плоскостей, и она лежит на их линии пересечения.

2. Найдём направление линии пересечения. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскости противоположных граней параллельны. Это означает, что плоскость грани $ADD_1A_1$ параллельна плоскости грани $BCC_1B_1$, то есть $(ADD_1) \parallel (BCC_1)$.

3. Плоскость $(ADM)$ пересекает эти две параллельные плоскости. Согласно теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны. Плоскость $(ADM)$ пересекает плоскость $(ADD_1)$ по прямой $AD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $(ADM)$ с плоскостью $(BCC_1)$ должна быть параллельна прямой $AD$.

4. В параллелепипеде $AD \parallel BC$. Это значит, что искомая линия пересечения, проходящая через точку $M$, также параллельна и прямой $BC$.

5. Построение: В плоскости грани $BCC_1B_1$ проведём прямую через точку $M$ параллельно $BC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $BB_1$ в точке $K$. Прямая $MK$ и является искомой линией пересечения.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $(ADM)$ и $(BB_1C_1)$ — это прямая $MK$, где точка $K$ лежит на ребре $BB_1$ и $MK \parallel BC$.

2) AA₁M и DCC₁

Найдём линию пересечения плоскости $(AA_1M)$ и плоскости грани $DCC_1D_1$, которую обозначим как $(DCC_1)$.

1. Плоскость $(AA_1M)$ определена тремя точками: $A$, $A_1$ и $M$. По условию, точка $M$ лежит на ребре $CC_1$.

2. Рассмотрим диагональное сечение $ACC_1A_1$ параллелепипеда. Эта плоскость проходит через параллельные ребра $AA_1$ и $CC_1$. Так как точки $A$ и $A_1$ лежат в этой плоскости, и точка $M$ (которая лежит на отрезке $CC_1$) также принадлежит этой плоскости, то все три точки $A$, $A_1$ и $M$ лежат в плоскости $(ACC_1A_1)$. Это означает, что плоскость $(AA_1M)$ совпадает с плоскостью диагонального сечения $(ACC_1A_1)$.

3. Таким образом, задача сводится к нахождению линии пересечения плоскости диагонального сечения $(ACC_1A_1)$ и плоскости боковой грани $(DCC_1D_1)$.

4. Данные две плоскости имеют две общие точки — $C$ и $C_1$. Следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через эти две точки. Этой прямой является ребро $CC_1$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $(AA_1M)$ и $(DCC_1)$ — это прямая $CC_1$.