Номер 5.21, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.21. Точка $M$ принадлежит ребру $AA_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 5.23).

Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $M$ и $C_1$ и параллельной прямой $AB$.

Рис. 5.23

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения. Согласно условию задачи, плоскость $\alpha$ должна проходить через точки $M$ и $C_1$ и быть параллельной прямой $AB$.

Построение

Построение сечения выполняется в несколько шагов:

1. Построение следа сечения на грани $ABB_1A_1$

Прямая $AB$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$. Так как искомая плоскость сечения $\alpha$ по условию параллельна прямой $AB$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ABB_1A_1)$ должна быть параллельна прямой $AB$. Точка $M$ принадлежит искомой плоскости $\alpha$ и также лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$. Следовательно, через точку $M$ в плоскости $(ABB_1A_1)$ проведем прямую, параллельную $AB$. Пусть эта прямая пересекает ребро $BB_1$ в точке $K$. Отрезок $MK$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости на грани $ABB_1A_1$. Таким образом, по построению $MK \parallel AB$.

2. Построение следов сечения на гранях $BCC_1B_1$ и $ACC_1A_1$

Теперь у нас есть три точки, принадлежащие искомому сечению: $M$ (на ребре $AA_1$), $K$ (на ребре $BB_1$) и $C_1$ (вершина призмы).

Точки $K$ и $C_1$ обе лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком. Отрезок $KC_1$ — это след сечения на грани $BCC_1B_1$.

Аналогично, точки $M$ и $C_1$ обе лежат в плоскости грани $ACC_1A_1$. Соединим их отрезком. Отрезок $MC_1$ — это след сечения на грани $ACC_1A_1$.

3. Определение фигуры сечения

Соединив последовательно точки $M$, $K$ и $C_1$, мы получаем замкнутый многоугольник — треугольник $MKC_1$. Этот треугольник и является искомым сечением призмы.

Проверим, что построенная плоскость $(MKC_1)$ удовлетворяет всем условиям задачи:
- Плоскость проходит через точки $M$ и $C_1$ по построению.
- Плоскость параллельна прямой $AB$, так как она содержит прямую $MK$, которая была построена параллельно $AB$ (согласно признаку параллельности прямой и плоскости).

Следовательно, построение выполнено верно.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $MKC_1$, где точка $K$ является точкой пересечения ребра $BB_1$ с прямой, проведенной через точку $M$ параллельно прямой $AB$.