Страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.20. Точка $E$ — середина ребра $AD$ тетраэдра $DABC$ (рис. 5.22). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $B$ и $E$ и параллельной прямой $AC$. Вычислите периметр сечения, если каждое ребро тетраэдра равно 4 см.

Рис. 5.22

Построение сечения

Обозначим секущую плоскость как $ \alpha $. По условию задачи, плоскость $ \alpha $ проходит через точки $ B $ и $ E $ и параллельна прямой $ AC $.

1. Точки $ B $ и $ E $ принадлежат секущей плоскости $ \alpha $ и тетраэдру, следовательно, отрезок $ BE $ является одной из сторон искомого сечения.
2. Прямая $ AC $ лежит в плоскости грани $ ADC $. Секущая плоскость $ \alpha $ параллельна прямой $ AC $. По свойству параллельных прямой и плоскости, линия пересечения плоскости $ \alpha $ с плоскостью $ ADC $ должна быть параллельна прямой $ AC $.
3. Проведем в плоскости грани $ ADC $ через точку $ E $ прямую, параллельную $ AC $. Эта прямая пересечет ребро $ DC $ в точке, которую мы обозначим $ F $. Отрезок $ EF $ — это линия пересечения секущей плоскости с гранью $ ADC $ и, следовательно, еще одна сторона сечения.
4. Мы получили три точки сечения: $ B $, $ E $ и $ F $. Соединим точки $ B $ и $ F $ отрезком. Отрезок $ BF $ лежит в плоскости грани $ DBC $ и является третьей стороной сечения.

Таким образом, сечение тетраэдра $ DABC $ указанной плоскостью представляет собой треугольник $ BEF $.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $ BEF $, где $ F $ — точка на ребре $ DC $, такая что $ EF \parallel AC $.

Вычисление периметра сечения

Периметр треугольника $ BEF $ равен сумме длин его сторон: $ P_{BEF} = BE + EF + FB $.
По условию, все ребра тетраэдра равны 4 см. Это значит, что тетраэдр является правильным, а все его грани — равносторонние треугольники со стороной 4 см.

1. Найдем длину стороны $ EF $.
Рассмотрим $ \triangle ADC $. Он равносторонний со стороной 4 см. Точка $ E $ — середина ребра $ AD $. Так как по построению $ EF \parallel AC $, то по теореме Фалеса отрезок $ EF $ является средней линией $ \triangle ADC $. Следовательно, точка $ F $ — середина ребра $ DC $.
Длина средней линии равна половине длины основания: $ EF = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 $ см.

2. Найдем длину стороны $ BE $.
Рассмотрим $ \triangle ABD $. Он равносторонний со стороной 4 см. Точка $ E $ — середина $ AD $. Отрезок $ BE $ является медианой этого треугольника.
Для нахождения длины $ BE $ применим теорему косинусов к $ \triangle ABE $. В этом треугольнике $ AB = 4 $ см, $ AE = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 $ см, а угол $ \angle BAE = 60^\circ $ (так как $ \triangle ABD $ равносторонний).
$ BE^2 = AB^2 + AE^2 - 2 \cdot AB \cdot AE \cdot \cos(60^\circ) $
$ BE^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 4 - 8 = 12 $
$ BE = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $ см.

3. Найдем длину стороны $ FB $.
Рассмотрим $ \triangle DBC $. Он также является равносторонним со стороной 4 см. Точка $ F $ — середина ребра $ DC $. Следовательно, отрезок $ FB $ является медианой этого треугольника.
Треугольники $ ABD $ и $ DBC $ равны, поэтому их медианы, проведенные к боковым сторонам из вершины $ B $, также равны.
$ FB = BE = 2\sqrt{3} $ см.

4. Вычислим периметр сечения.
$ P_{BEF} = BE + FB + EF = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2 = 4\sqrt{3} + 2 $ см.

Ответ: $ (4\sqrt{3} + 2) $ см.

5.21. Точка $M$ принадлежит ребру $AA_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 5.23).

Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $M$ и $C_1$ и параллельной прямой $AB$.

Рис. 5.23

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения. Согласно условию задачи, плоскость $\alpha$ должна проходить через точки $M$ и $C_1$ и быть параллельной прямой $AB$.

Построение

Построение сечения выполняется в несколько шагов:

1. Построение следа сечения на грани $ABB_1A_1$

Прямая $AB$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$. Так как искомая плоскость сечения $\alpha$ по условию параллельна прямой $AB$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ABB_1A_1)$ должна быть параллельна прямой $AB$. Точка $M$ принадлежит искомой плоскости $\alpha$ и также лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$. Следовательно, через точку $M$ в плоскости $(ABB_1A_1)$ проведем прямую, параллельную $AB$. Пусть эта прямая пересекает ребро $BB_1$ в точке $K$. Отрезок $MK$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости на грани $ABB_1A_1$. Таким образом, по построению $MK \parallel AB$.

2. Построение следов сечения на гранях $BCC_1B_1$ и $ACC_1A_1$

Теперь у нас есть три точки, принадлежащие искомому сечению: $M$ (на ребре $AA_1$), $K$ (на ребре $BB_1$) и $C_1$ (вершина призмы).

Точки $K$ и $C_1$ обе лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком. Отрезок $KC_1$ — это след сечения на грани $BCC_1B_1$.

Аналогично, точки $M$ и $C_1$ обе лежат в плоскости грани $ACC_1A_1$. Соединим их отрезком. Отрезок $MC_1$ — это след сечения на грани $ACC_1A_1$.

3. Определение фигуры сечения

Соединив последовательно точки $M$, $K$ и $C_1$, мы получаем замкнутый многоугольник — треугольник $MKC_1$. Этот треугольник и является искомым сечением призмы.

Проверим, что построенная плоскость $(MKC_1)$ удовлетворяет всем условиям задачи:
- Плоскость проходит через точки $M$ и $C_1$ по построению.
- Плоскость параллельна прямой $AB$, так как она содержит прямую $MK$, которая была построена параллельно $AB$ (согласно признаку параллельности прямой и плоскости).

Следовательно, построение выполнено верно.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $MKC_1$, где точка $K$ является точкой пересечения ребра $BB_1$ с прямой, проведенной через точку $M$ параллельно прямой $AB$.

5.22. Точки $E$ и $F$ — середины соответственно рёбер $AB$ и $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.24). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки $E$ и $F$ и параллельной прямой $DD_1$. Вычислите периметр сечения, если ребро куба равно $a$.

Рис. 5.24

Построение сечения

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения.
1. Точки $E$ и $F$ лежат как в плоскости сечения $\alpha$, так и в плоскости основания $ABCD$. Следовательно, их соединяющий отрезок $EF$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ABCD$.
2. По условию, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $DD_1$. Так как все боковые рёбра куба параллельны ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$), секущая плоскость $\alpha$ пересекает боковые грани по прямым, параллельным боковым рёбрам.
3. Проведём через точку $E$ на грани $ABB_1A_1$ прямую, параллельную ребру $AA_1$. Эта прямая пересечёт ребро $A_1B_1$ в точке $E_1$. Поскольку $E$ — середина $AB$, то по теореме Фалеса $E_1$ — середина $A_1B_1$. Отрезок $EE_1$ — одна из сторон сечения.
4. Аналогично, проведём через точку $F$ на грани $BCC_1B_1$ прямую, параллельную ребру $BB_1$. Эта прямая пересечёт ребро $B_1C_1$ в точке $F_1$. Так как $F$ — середина $BC$, то $F_1$ — середина $B_1C_1$. Отрезок $FF_1$ — ещё одна сторона сечения.
5. Соединим точки $E_1$ и $F_1$, лежащие в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Отрезок $E_1F_1$ — линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью.
Полученный четырёхугольник $EFF_1E_1$ является искомым сечением.

Определим вид этого четырёхугольника.
По построению $EE_1 \parallel AA_1$ и $FF_1 \parallel BB_1$. Так как $AA_1 \parallel BB_1$, то $EE_1 \parallel FF_1$, и их длины равны ребру куба $a$.
В треугольнике $ABC$ отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $EF$ — средняя линия, и $EF \parallel AC$.
Аналогично, в треугольнике $A_1B_1C_1$ отрезок $E_1F_1$ — средняя линия, и $E_1F_1 \parallel A_1C_1$.
Так как $AC \parallel A_1C_1$, то $EF \parallel E_1F_1$.
Таким образом, в четырёхугольнике $EFF_1E_1$ противоположные стороны попарно параллельны, значит, это параллелограмм.
Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, значит и $EE_1 \perp (ABCD)$. Следовательно, $EE_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через $E$, в том числе и прямой $EF$. Таким образом, угол $\angle E_1EF = 90^\circ$.
Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.
Ответ: Искомым сечением является прямоугольник $EFF_1E_1$, где точки $E_1$ и $F_1$ — середины рёбер $A_1B_1$ и $B_1C_1$ соответственно.

Вычисление периметра сечения

Периметр прямоугольника $EFF_1E_1$ вычисляется по формуле $P = 2(EE_1 + EF)$.
Длина стороны $EE_1$ равна длине бокового ребра куба: $EE_1 = a$.
Длину стороны $EF$ найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $EBF$ ($\angle B = 90^\circ$), в котором катеты $EB$ и $BF$ равны половине ребра куба:
$EB = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$
$BF = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$
$EF^2 = EB^2 + BF^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$
$EF = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
Теперь можем вычислить периметр сечения:
$P = 2(EE_1 + EF) = 2(a + \frac{a\sqrt{2}}{2}) = 2a + a\sqrt{2} = a(2 + \sqrt{2})$
Ответ: $a(2 + \sqrt{2})$.

5.23. Дан тетраэдр $DABC$. Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $CD$ и параллельна прямой $AB$. Постройте линию пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $ABC$.

Обозначим искомую линию пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $ABC$ буквой $l$. Таким образом, $l = \alpha \cap (ABC)$.

1. Найдем точку, принадлежащую линии пересечения $l$.По условию, плоскость $\alpha$ проходит через прямую $CD$. Это означает, что любая точка прямой $CD$, в том числе и точка $C$, принадлежит плоскости $\alpha$ ($C \in \alpha$).Точка $C$ также является вершиной тетраэдра и, следовательно, принадлежит плоскости основания $ABC$ ($C \in (ABC)$).Поскольку точка $C$ принадлежит обеим плоскостям ($\alpha$ и $ABC$), она по определению принадлежит их линии пересечения $l$. Итак, $C \in l$.

2. Определим направление линии пересечения $l$.По условию, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$ ($\alpha \parallel AB$).Прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$ ($AB \subset (ABC)$).Воспользуемся следующей теоремой: если плоскость ($\alpha$) проходит через прямую, не лежащую в другой плоскости ($ABC$), и параллельна некоторой прямой ($AB$), лежащей в этой плоскости ($ABC$), то линия пересечения плоскостей ($\alpha$ и $ABC$) параллельна этой прямой ($AB$).Более формально: так как $\alpha \cap (ABC) = l$, $AB \subset (ABC)$ и $\alpha \parallel AB$, то из этого следует, что $l \parallel AB$.

3. Построение.Мы установили, что искомая линия пересечения $l$ проходит через точку $C$ и параллельна прямой $AB$. В плоскости $ABC$ через точку $C$ можно провести единственную прямую, параллельную прямой $AB$. Эта прямая и будет являться искомой линией пересечения.

Ответ: Линия пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $ABC$ — это прямая, проходящая через точку $C$ параллельно прямой $AB$.

5.24. Точка $M$ не принадлежит плоскости параллелограмма $ABCD$. Постройте линию пересечения плоскостей $AMB$ и $CMD$.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти либо две их общие точки, либо одну общую точку и определить направление линии пересечения.

1. Нахождение общей точки плоскостей

По условию, плоскость $(AMB)$ определяется точками $A$, $M$, $B$, а плоскость $(CMD)$ — точками $C$, $M$, $D$. Очевидно, что точка $M$ принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, точка $M$ лежит на линии их пересечения, так как является их общей точкой.

2. Определение направления линии пересечения

В основании лежит параллелограмм $ABCD$. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Таким образом, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, то есть $AB \parallel CD$.

Рассмотрим данные плоскости:

• Плоскость $(AMB)$ содержит прямую $AB$.
• Плоскость $(CMD)$ содержит прямую $CD$.

Воспользуемся следующей теоремой стереометрии: если две пересекающиеся плоскости проходят через две параллельные прямые, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данным прямым.

В нашем случае плоскости $(AMB)$ и $(CMD)$ пересекаются (так как имеют общую точку $M$), и они содержат параллельные прямые $AB$ и $CD$ соответственно. Следовательно, линия их пересечения, которую мы обозначим как прямая $l$, должна быть параллельна прямым $AB$ и $CD$. То есть, $l \parallel AB$ и $l \parallel CD$.

3. Построение и вывод

Мы установили, что искомая линия пересечения проходит через точку $M$ и параллельна прямым $AB$ и $CD$. Для ее построения достаточно через точку $M$ провести прямую $l$, параллельную прямой $AB$. Эта прямая и будет являться линией пересечения плоскостей $(AMB)$ и $(CMD)$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $AMB$ и $CMD$ — это прямая, проходящая через точку $M$ и параллельная стороне $AB$ (а следовательно, и стороне $CD$) параллелограмма.

5.25. Точки $E, F, M$ и $K$ — середины соответственно рёбер $AB, BC, AD$ и $CD$ тетраэдра $DABC$. Докажите, что отрезки $MF$ и $KE$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Точки $M$ и $E$ являются серединами сторон $AD$ и $AB$ соответственно. Следовательно, отрезок $ME$ — средняя линия треугольника $ABD$. По свойству средней линии:

$ME \parallel DB$ и $ME = \frac{1}{2}DB$.

2. Рассмотрим треугольник $CBD$. Точки $K$ и $F$ являются серединами сторон $CD$ и $BC$ соответственно. Следовательно, отрезок $KF$ — средняя линия треугольника $CBD$. По свойству средней линии:

$KF \parallel DB$ и $KF = \frac{1}{2}DB$.

3. Сопоставим полученные результаты. Мы имеем:

• $ME \parallel DB$ и $KF \parallel DB$, из чего следует, что $ME \parallel KF$ (по теореме о двух прямых, параллельных третьей).
• $ME = \frac{1}{2}DB$ и $KF = \frac{1}{2}DB$, из чего следует, что $ME = KF$.

4. Рассмотрим четырехугольник $M K F E$. Так как две его противоположные стороны $ME$ и $KF$ равны и параллельны, то по признаку параллелограмма этот четырехугольник является параллелограммом. (Так как $ME \parallel KF$, то все четыре точки $M, K, F, E$ лежат в одной плоскости).

5. Отрезки $MF$ и $KE$ являются диагоналями параллелограмма $M K F E$. По свойству диагоналей параллелограмма, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что отрезки $MF$ и $KE$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.