Страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.46. На ребре $AA_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$ (рис. 5.29).

Точки $N$ и $K$ принадлежат граням $BB_1C_1C$ и $DD_1C_1C$ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью $MNK$.

Рис. 5.29

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$, необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями куба. Наиболее универсальным методом для решения таких задач является метод следов.

Построение

1. Построение следа плоскости $MNK$ на плоскости нижнего основания $ABC$.
След – это прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью основания. Для ее построения необходимо найти две точки, принадлежащие одновременно и плоскости $MNK$, и плоскости $ABC$.

а) Нахождение первой точки следа. Найдем точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$. Для этого спроецируем прямую $MN$ на плоскость $ABC$ параллельно боковым ребрам (например, $AA_1$). Проекцией точки $M$ на ребре $AA_1$ является точка $A$. Проекцией точки $N$, лежащей на грани $BB_1C_1C$, является некоторая точка $N_p$ на ребре $BC$. Прямая $AN_p$ — это проекция прямой $MN$ на плоскость $ABC$. Прямые $MN$ и $AN_p$ лежат в одной плоскости (определяемой точками $M, N, A$), поэтому они пересекаются. Точка их пересечения $P_1 = MN \cap AN_p$ принадлежит прямой $MN$ (а значит, и плоскости $MNK$) и прямой $AN_p$ (а значит, и плоскости $ABC$). Таким образом, $P_1$ — первая точка искомого следа.

б) Нахождение второй точки следа. Аналогично найдем точку пересечения прямой $NK$ с плоскостью $ABC$. Проекцией точки $N$ является точка $N_p$ на $BC$. Проекцией точки $K$ (с грани $DD_1C_1C$) является некоторая точка $K_p$ на $DC$. Прямая $N_pK_p$ — проекция прямой $NK$. Точка пересечения $P_2 = NK \cap N_pK_p$ является второй точкой следа, так как она одновременно принадлежит прямой $NK$ (плоскости $MNK$) и прямой $N_pK_p$ (плоскости $ABC$).

в) Построение следа. Прямая $l$, проходящая через точки $P_1$ и $P_2$, является следом секущей плоскости $MNK$ на плоскости $ABC$.

2. Построение сторон многоугольника сечения.
Теперь, используя построенный след $l$, можно последовательно найти стороны сечения на гранях куба.

а) Находим точки пересечения следа $l$ с прямыми, содержащими ребра основания куба. Например, $S_1 = l \cap AB$ и $S_2 = l \cap AD$.

б) Строим сторону сечения на грани $AA_1B_1B$. Точки $M$ и $S_1$ лежат в плоскости этой грани. Проводим прямую $MS_1$, которая является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани. Отрезок этой прямой, заключенный внутри грани, является стороной сечения. Пусть это отрезок $MT_1$, где $T_1$ лежит на одном из ребер грани (например, $BB_1$ или $AB$).

в) Строим сторону сечения на грани $AA_1D_1D$. Точки $M$ и $S_2$ лежат в плоскости этой грани. Проводим прямую $MS_2$. Отрезок этой прямой внутри грани, например $MT_2$ (где $T_2$ на $DD_1$), является стороной сечения.

г) Теперь на грани $DD_1C_1C$ у нас есть построенная точка $T_2$ (на ребре $DD_1$) и заданная точка $K$. Обе они лежат в секущей плоскости и в плоскости этой грани. Проводим прямую $T_2K$. Отрезок этой прямой внутри грани, например $T_2T_3$ (где $T_3$ на ребре $DC$ или $C_1C$), является стороной сечения.

д) Аналогично, на грани $BB_1C_1C$ лежат построенная точка $T_1$ и заданная точка $N$. Проводим прямую $T_1N$. Отрезок этой прямой внутри грани, например $T_1T_4$ (где $T_4$ на ребре $BC$ или $C_1C$), является стороной сечения.

е) Наконец, на нижней и/или задней гранях соединяем оставшиеся свободные вершины ($T_3$ и $T_4$). Например, если $T_3$ на $DC$ и $T_4$ на $BC$, то они лежат на нижней грани. Соединяем их. Отрезок $T_3T_4$ — последняя сторона сечения. Для проверки правильности построений, точки $T_3$ и $T_4$ должны лежать на следе $l$.

В результате этих построений получается замкнутый многоугольник (например, пятиугольник $MT_1T_4T_3T_2$), который и является искомым сечением. Количество сторон сечения (от 3 до 6) зависит от конкретного расположения точек $M, N, K$.

Ответ: Искомое сечение — это многоугольник, вершины которого строятся последовательно на ребрах куба с помощью метода следов, как описано в алгоритме построения.

5.47. Точки $M$, $N$ и $K$ принадлежат соответственно граням $AA_1B_1B$, $BB_1C_1C$ и $CC_1D_1D$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.30). Постройте сечение куба плоскостью $MNK$.

Рис. 5.30

Для построения сечения куба плоскостью $MNK$ воспользуемся методом следов. Суть метода состоит в нахождении линии пересечения (следа) секущей плоскости $(MNK)$ с плоскостью основания куба, а затем, используя этот след, в последовательном построении сторон сечения на гранях куба.

Построение выполняется в следующем порядке:

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания $(ABCD)$.

   След – это прямая, для построения которой достаточно найти две точки, принадлежащие одновременно и секущей плоскости $(MNK)$, и плоскости основания $(ABCD)$.

   • Найдем точку $P_1$ — точку пересечения прямой $NK$ с плоскостью $(ABCD)$. Для этого спроецируем точки $N$ и $K$ на плоскость основания. Проекция точки $N \in (BB_1C_1C)$ есть точка $N'$ на ребре $BC$. Проекция точки $K \in (CC_1D_1D)$ есть точка $K'$ на ребре $CD$. Прямые $NK$ и $N'K'$ лежат в одной вспомогательной плоскости, поэтому они пересекаются. Точка их пересечения $P_1 = NK \cap N'K'$. Поскольку $P_1 \in NK$, то $P_1 \in (MNK)$. Поскольку $P_1 \in N'K'$, то $P_1 \in (ABCD)$. Таким образом, $P_1$ – первая точка следа.

   • Аналогично найдем точку $P_2$ — точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(ABCD)$. Спроектируем точки $M \in (AA_1B_1B)$ и $N \in (BB_1C_1C)$ на плоскость основания. Получим точки $M'$ на ребре $AB$ и $N'$ на ребре $BC$. Прямые $MN$ и $M'N'$ пересекаются в точке $P_2 = MN \cap M'N'$. Эта точка является второй точкой следа.

   • Проведем прямую $l$ через точки $P_1$ и $P_2$. Прямая $l$ – это след секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания куба.

2. Построение сторон сечения на гранях куба.

   Вершины искомого сечения являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами куба. Мы найдем их, строя следы плоскости $(MNK)$ на боковых гранях.

   • Найдем точку пересечения следа $l$ с прямой, содержащей ребро $AB$. Обозначим эту точку $T_1$. Точка $T_1$ и точка $M$ лежат в плоскости грани $AA_1B_1B$. Проведем через них прямую $MT_1$, которая является следом плоскости $(MNK)$ на грани $AA_1B_1B$. Эта прямая пересечет ребра грани в двух точках, которые будут вершинами сечения. Например, пусть $Q_1 = MT_1 \cap AA_1$ и $Q_2 = MT_1 \cap BB_1$. Тогда отрезок $Q_1Q_2$ – одна из сторон сечения.

   • Вершина $Q_2$ лежит на ребре $BB_1$ и, следовательно, принадлежит грани $BB_1C_1C$. Точка $N$ также лежит на этой грани. Проведем прямую $NQ_2$, которая является следом секущей плоскости на грани $BB_1C_1C$. Пусть эта прямая пересекает ребро $CC_1$ в точке $Q_3$. Отрезок $Q_2Q_3$ – вторая сторона сечения.

   • Вершина $Q_3$ лежит на ребре $CC_1$ и, следовательно, принадлежит грани $CC_1D_1D$. Точка $K$ также лежит на этой грани. Проведем прямую $KQ_3$ – след секущей плоскости на грани $CC_1D_1D$. Пусть эта прямая пересекает ребро $DD_1$ в точке $Q_4$. Отрезок $Q_3Q_4$ – третья сторона сечения.

   • Соединим вершины $Q_4$ и $Q_1$. Обе точки лежат в плоскости грани $AA_1D_1D$. Отрезок $Q_4Q_1$ – четвертая, замыкающая сторона сечения. Для проверки правильности построения можно убедиться, что отрезки сечения на параллельных гранях параллельны: $Q_1Q_2 \parallel Q_4Q_3$ (на самом деле нет, это неверно для общего случая, но $Q_1Q_4 \parallel Q_2Q_3$, так как грани $(AA_1D_1D)$ и $(BB_1C_1C)$ параллельны).

В результате выполненных построений получается многоугольник (в данном примере – четырехугольник $Q_1Q_2Q_3Q_4$), который является искомым сечением куба плоскостью $MNK$. В зависимости от расположения точек $M, N, K$ форма сечения может быть иной (треугольник, пятиугольник или шестиугольник), но описанный метод построения остается универсальным.

Ответ: Искомое сечение представляет собой многоугольник, вершины которого лежат на ребрах куба. Построение сечения выполняется методом следов, как описано выше: сначала строится след секущей плоскости на плоскости основания, а затем последовательно находятся линии пересечения секущей плоскости с гранями куба и определяются вершины многоугольника сечения.

5.48. Основанием пирамиды $SABCD$ является трапеция $ABCD$, в которой $AD \parallel BC$ и $\frac{AD}{BC} = 3$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. В каком отношении плоскость $MND$ делит ребро $SC$, считая от точки $S$?

Пусть плоскость $(MND)$ пересекает ребро $SC$ в точке $K$. Нам необходимо найти отношение $SK:KC$. Для решения задачи воспользуемся методом построения сечения.

Сначала найдем прямую, по которой секущая плоскость $(MND)$ пересекает плоскость основания $(ABCD)$. По условию, точки $M$ и $N$ — середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $SAB$. Из этого следует, что прямая $MN$ параллельна прямой $AB$ ($MN \parallel AB$). Плоскость $(MND)$ проходит через прямую $MN$, а плоскость основания $(ABCD)$ проходит через прямую $AB$. Поскольку $MN \parallel AB$, линия пересечения этих плоскостей будет прямой, параллельной $AB$ и $MN$. Точка $D$ принадлежит как плоскости основания, так и секущей плоскости, значит, эта линия пересечения проходит через точку $D$. Обозначим эту прямую $l$. Итак, $l = (MND) \cap (ABCD)$ и $l \parallel AB$.

Теперь найдем прямую пересечения плоскости $(MND)$ с плоскостью грани $(SBC)$. Точка $N$ является общей точкой этих двух плоскостей, так как $N \in SB$ и $N \in (MND)$. Чтобы найти вторую общую точку, найдем пересечение прямой $l$ (которая лежит в плоскости $MND$) и прямой $BC$ (которая лежит в плоскости $SBC$). Обе эти прямые лежат в плоскости основания $(ABCD)$. Пусть $E$ — точка их пересечения ($E = l \cap BC$). Так как $E \in l$, то $E \in (MND)$. Так как $E \in BC$, то $E \in (SBC)$. Следовательно, прямая $NE$ является линией пересечения плоскостей $(MND)$ и $(SBC)$.

Искомая точка $K$ является точкой пересечения секущей плоскости $(MND)$ и ребра $SC$. Поскольку ребро $SC$ лежит в плоскости $(SBC)$, а линия пересечения $(MND)$ и $(SBC)$ — это прямая $NE$, точка $K$ должна лежать на этой прямой. Таким образом, $K = NE \cap SC$.

Теперь рассмотрим плоскость грани $(SBC)$. В этой плоскости прямая $NE$ пересекает стороны треугольника $SBC$ (или их продолжения). К треугольнику $SBC$ и секущей $NKE$ можно применить теорему Менелая: $$ \frac{SN}{NB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CK}{KS} = 1 $$

Найдем значения отношений в этой формуле: 1. Поскольку $N$ — середина ребра $SB$, то $SN = NB$, и отношение $\frac{SN}{NB} = 1$. 2. Для нахождения отношения $\frac{BE}{EC}$ рассмотрим плоскость основания $ABCD$. В этой плоскости прямая $l$ проходит через точку $D$ параллельно $AB$ и пересекает прямую $BC$ в точке $E$. Введем векторы с началом в точке $B$. Пусть $\vec{BA} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{c}$. Из условия $AD \parallel BC$ и $AD = 3BC$ следует, что $\vec{AD} = 3\vec{BC} = 3\vec{c}$. Выразим вектор положения точки $D$: $\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{a} + 3\vec{c}$. Прямая $l$ проходит через $D$ и параллельна $AB$. Ее направляющим вектором является $\vec{BA} = \vec{a}$. Параметрическое уравнение прямой $l$: $\vec{r}(t) = \vec{BD} + t\vec{BA} = (\vec{a} + 3\vec{c}) + t\vec{a} = (1+t)\vec{a} + 3\vec{c}$. Прямая $BC$ проходит через точку $B$ (начало векторов) и имеет направляющий вектор $\vec{BC} = \vec{c}$. Ее уравнение: $\vec{r}(s) = s\vec{c}$. Для нахождения точки пересечения $E$ приравняем выражения для $\vec{r}$: $$ s\vec{c} = (1+t)\vec{a} + 3\vec{c} $$ $$ (s-3)\vec{c} - (1+t)\vec{a} = \vec{0} $$ Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ неколлинеарны (так как $A, B, C$ не лежат на одной прямой), это равенство выполняется только тогда, когда коэффициенты при векторах равны нулю: $s-3=0 \implies s=3$ $1+t=0 \implies t=-1$ Вектор положения точки $E$ равен $\vec{BE} = s\vec{c} = 3\vec{c} = 3\vec{BC}$. Это означает, что точки $B, C, E$ лежат на одной прямой в указанном порядке, и длина отрезка $BE$ в три раза больше длины $BC$. Тогда $CE = BE - BC = 3BC - BC = 2BC$. Следовательно, отношение $\frac{BE}{EC} = \frac{3BC}{2BC} = \frac{3}{2}$.

Подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая: $$ 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CK}{KS} = 1 $$ Из этого уравнения находим: $$ \frac{CK}{KS} = \frac{2}{3} $$ В задаче требуется найти отношение, в котором плоскость делит ребро $SC$, считая от точки $S$, то есть отношение $SK : KC$. $$ \frac{SK}{KC} = \frac{1}{CK/KS} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2} $$ Таким образом, плоскость $MND$ делит ребро $SC$ в отношении $3:2$, считая от вершины $S$.
Ответ: $3:2$

5.49. Основанием пирамиды $SABCDE$ является пятиугольник $ABCDE$. На рёбрах $SE$ и $SD$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ (рис. 5.31).

Известно, что $\frac{SM}{SE} = \frac{SN}{SD}$. Постройте сечение пирамиды плоскостью $BMN$.

Рис. 5.31

Для построения сечения пирамиды `SABCDE` плоскостью `BMN` выполним следующие шаги:

Построение и обоснование

1. Соединим точки `M` и `N`, лежащие в плоскости одной грани `SDE`. Отрезок `MN` — одна из сторон искомого сечения.

2. Рассмотрим треугольник `SDE`. По условию на его сторонах `SE` и `SD` отмечены точки `M` и `N` так, что выполняется пропорция $ \frac{SM}{SE} = \frac{SN}{SD} $. Согласно теореме, обратной теореме Фалеса, это означает, что прямая `MN` параллельна стороне `DE` треугольника. Итак, $MN \parallel DE$.

3. Прямая `DE` лежит в плоскости основания пирамиды `(ABCDE)`. Поскольку прямая `MN`, принадлежащая секущей плоскости `(BMN)`, параллельна прямой `DE`, то прямая `MN` параллельна и всей плоскости основания `(ABCDE)`.

4. По свойству параллельных прямой и плоскости: если плоскость `(BMN)` пересекает плоскость `(ABCDE)` (к которой она не параллельна, так как имеет общую точку `B`), и при этом содержит прямую `MN`, параллельную плоскости `(ABCDE)`, то линия их пересечения будет проходить через их общую точку `B` и будет параллельна прямой `MN`.

5. Следовательно, для дальнейшего построения в плоскости основания `(ABCDE)` проведем прямую `l` через точку `B` параллельно `DE` (а значит, и параллельно `MN`). Прямая `l` является следом секущей плоскости на плоскости основания.

6. Теперь найдем точку пересечения секущей плоскости с ребром `SC`. Для этого продлим ребро основания `CD` до пересечения с построенной прямой `l`. Обозначим точку их пересечения `P`.

7. Точка `P` принадлежит прямой `l`, поэтому она лежит в секущей плоскости `(BMN)`. В то же время точка `P` принадлежит прямой `CD`, поэтому она лежит в плоскости грани `SCD`.

8. Точка `N` также принадлежит секущей плоскости `(BMN)` и плоскости грани `SCD`. Таким образом, прямая `PN` является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани `SCD`.

9. Проведем прямую `PN`. Точка, в которой она пересекает ребро `SC`, является вершиной искомого сечения. Обозначим эту точку `K`.

10. Соединим последовательно точки, принадлежащие граням пирамиды: `B` с `M` (в грани `SBE`), `M` с `N` (в грани `SDE`), `N` с `K` (в грани `SCD`) и `K` с `B` (в грани `SBC`).

Полученный четырехугольник `BMNK` и является искомым сечением пирамиды.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник `BMNK`, построенный в соответствии с описанными выше шагами.

5.50. Основанием пирамиды $SABCDEF$ является шестиугольник $ABCDEF$. На рёбрах $SA$ и $SE$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ (рис. 5.32).

Известно, что $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SE}$. Постройте сечение пирамиды плоскостью $CMN$.

Рис. 5.32

Построение искомого сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки $C$, $M$ и $N$, выполним в несколько шагов.

1. Анализ заданного соотношения.
Точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $SA$ и $SE$ соответственно. По условию дано соотношение $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SE}$. Рассмотрим треугольник $SAE$. В этом треугольнике отрезки $SM$ и $SN$ пропорциональны сторонам $SA$ и $SE$. Согласно обратной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), прямая $MN$ параллельна прямой $AE$. Итак, $MN \parallel AE$.

2. Использование метода вспомогательных плоскостей.
Для дальнейшего построения воспользуемся свойствами основания. Как правило, в таких задачах, если не указано иное, шестиугольник в основании является правильным. Будем считать, что $ABCDEF$ — правильный шестиугольник. В правильном шестиугольнике главная диагональ $AE$ параллельна диагонали $BD$. То есть, $AE \parallel BD$.
Из $MN \parallel AE$ и $AE \parallel BD$ следует, что $MN \parallel BD$.

3. Нахождение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью $SBD$.
Рассмотрим секущую плоскость $(CMN)$ и плоскость $(SBD)$. Так как прямая $MN$, лежащая в плоскости $(CMN)$, параллельна прямой $BD$, лежащей в плоскости $(SBD)$, то линия пересечения этих плоскостей будет параллельна обеим этим прямым ($MN$ и $BD$).
Чтобы построить эту линию пересечения, нам нужно найти хотя бы одну общую точку для плоскостей $(CMN)$ и $(SBD)$.
Для этого введем еще одну вспомогательную плоскость $(SAC)$. Эта плоскость содержит прямую $CM$. Пусть $O$ — центр основания шестиугольника. Прямая $SO$ является линией пересечения плоскостей $(SAC)$ и $(SBD)$.
Найдем точку пересечения прямой $CM$ (лежащей в $(SAC)$) с прямой $SO$ (также лежащей в $(SAC)$). Обозначим эту точку $I$.
$I = CM \cap SO$.
Точка $I$ принадлежит прямой $CM$, а значит, и секущей плоскости $(CMN)$.
Точка $I$ принадлежит прямой $SO$, а значит, и плоскости $(SBD)$.
Следовательно, точка $I$ лежит на линии пересечения плоскостей $(CMN)$ и $(SBD)$.

4. Нахождение новых вершин сечения.
Теперь мы знаем, что плоскости $(CMN)$ и $(SBD)$ пересекаются по прямой, проходящей через точку $I$ и параллельной $BD$. Проведем в плоскости $(SBD)$ прямую через $I$ параллельно $BD$.
Эта прямая пересечет ребра пирамиды $SB$ и $SD$ в некоторых точках. Обозначим эти точки $L$ и $K$ соответственно.
$L = (I \in l, l \parallel BD) \cap SB$
$K = (I \in l, l \parallel BD) \cap SD$
Точки $L$ и $K$ являются вершинами искомого сечения.

5. Построение многоугольника сечения.
Мы нашли все вершины сечения. Это точки, в которых секущая плоскость пересекает ребра пирамиды: $C$ (является вершиной пирамиды), $L$ на ребре $SB$, $M$ на ребре $SA$, $N$ на ребре $SE$ и $K$ на ребре $SD$.
Соединим эти точки последовательно отрезками, которые являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями пирамиды:
- $CL$ на грани $SBC$
- $LM$ на грани $SAB$
- $MN$ (этот отрезок лежит внутри пирамиды, в плоскости $SAE$)
- $NK$ на грани $SDE$
- $KC$ на грани $SCD$
Искомое сечение — это пятиугольник $CLMNK$.

Ответ: Искомым сечением является пятиугольник $CLMNK$, построение которого описано выше.