Номер 5.50, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.50. Основанием пирамиды $SABCDEF$ является шестиугольник $ABCDEF$. На рёбрах $SA$ и $SE$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ (рис. 5.32).

Известно, что $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SE}$. Постройте сечение пирамиды плоскостью $CMN$.

Рис. 5.32

Построение искомого сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки $C$, $M$ и $N$, выполним в несколько шагов.

1. Анализ заданного соотношения.
Точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $SA$ и $SE$ соответственно. По условию дано соотношение $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SE}$. Рассмотрим треугольник $SAE$. В этом треугольнике отрезки $SM$ и $SN$ пропорциональны сторонам $SA$ и $SE$. Согласно обратной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), прямая $MN$ параллельна прямой $AE$. Итак, $MN \parallel AE$.

2. Использование метода вспомогательных плоскостей.
Для дальнейшего построения воспользуемся свойствами основания. Как правило, в таких задачах, если не указано иное, шестиугольник в основании является правильным. Будем считать, что $ABCDEF$ — правильный шестиугольник. В правильном шестиугольнике главная диагональ $AE$ параллельна диагонали $BD$. То есть, $AE \parallel BD$.
Из $MN \parallel AE$ и $AE \parallel BD$ следует, что $MN \parallel BD$.

3. Нахождение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью $SBD$.
Рассмотрим секущую плоскость $(CMN)$ и плоскость $(SBD)$. Так как прямая $MN$, лежащая в плоскости $(CMN)$, параллельна прямой $BD$, лежащей в плоскости $(SBD)$, то линия пересечения этих плоскостей будет параллельна обеим этим прямым ($MN$ и $BD$).
Чтобы построить эту линию пересечения, нам нужно найти хотя бы одну общую точку для плоскостей $(CMN)$ и $(SBD)$.
Для этого введем еще одну вспомогательную плоскость $(SAC)$. Эта плоскость содержит прямую $CM$. Пусть $O$ — центр основания шестиугольника. Прямая $SO$ является линией пересечения плоскостей $(SAC)$ и $(SBD)$.
Найдем точку пересечения прямой $CM$ (лежащей в $(SAC)$) с прямой $SO$ (также лежащей в $(SAC)$). Обозначим эту точку $I$.
$I = CM \cap SO$.
Точка $I$ принадлежит прямой $CM$, а значит, и секущей плоскости $(CMN)$.
Точка $I$ принадлежит прямой $SO$, а значит, и плоскости $(SBD)$.
Следовательно, точка $I$ лежит на линии пересечения плоскостей $(CMN)$ и $(SBD)$.

4. Нахождение новых вершин сечения.
Теперь мы знаем, что плоскости $(CMN)$ и $(SBD)$ пересекаются по прямой, проходящей через точку $I$ и параллельной $BD$. Проведем в плоскости $(SBD)$ прямую через $I$ параллельно $BD$.
Эта прямая пересечет ребра пирамиды $SB$ и $SD$ в некоторых точках. Обозначим эти точки $L$ и $K$ соответственно.
$L = (I \in l, l \parallel BD) \cap SB$
$K = (I \in l, l \parallel BD) \cap SD$
Точки $L$ и $K$ являются вершинами искомого сечения.

5. Построение многоугольника сечения.
Мы нашли все вершины сечения. Это точки, в которых секущая плоскость пересекает ребра пирамиды: $C$ (является вершиной пирамиды), $L$ на ребре $SB$, $M$ на ребре $SA$, $N$ на ребре $SE$ и $K$ на ребре $SD$.
Соединим эти точки последовательно отрезками, которые являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями пирамиды:
- $CL$ на грани $SBC$
- $LM$ на грани $SAB$
- $MN$ (этот отрезок лежит внутри пирамиды, в плоскости $SAE$)
- $NK$ на грани $SDE$
- $KC$ на грани $SCD$
Искомое сечение — это пятиугольник $CLMNK$.

Ответ: Искомым сечением является пятиугольник $CLMNK$, построение которого описано выше.