Номер 5.44, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.44. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ и параллельной прямым $A_1C_1$ и $BD_1$. В каком отношении секущая плоскость делит отрезок $DB_1$, считая от точки $D$?

Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ и параллельной прямым $A_1C_1$ и $BD_1$.

Для построения сечения введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина куба $D$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$, а ребра $DA$, $DC$ и $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Примем длину ребра куба равной $a$.

В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты:
$D(0,0,0)$, $A(a,0,0)$, $C(0,a,0)$, $B(a,a,0)$,
$D_1(0,0,a)$, $A_1(a,0,a)$, $C_1(0,a,a)$, $B_1(a,a,a)$.

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через середину ребра $AB$, точку $M$. Найдем ее координаты:
$M = (\frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}) = (a, \frac{a}{2}, 0)$.

Плоскость $\alpha$ параллельна прямым $A_1C_1$ и $BD_1$. Найдем направляющие векторы этих прямых:
Для $A_1C_1$: $\vec{v_1} = \vec{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (0,a,a) - (a,0,a) = (-a, a, 0)$. В качестве направляющего вектора можно взять коллинеарный ему вектор $\vec{u_1} = (-1, 1, 0)$.
Для $BD_1$: $\vec{v_2} = \vec{BD_1} = D_1 - B = (0,0,a) - (a,a,0) = (-a, -a, a)$. В качестве направляющего вектора можно взять коллинеарный ему вектор $\vec{u_2} = (-1, -1, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $\alpha$ перпендикулярен векторам $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$. Найдем его через векторное произведение:
$\vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}((-1) \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}((-1) \cdot (-1) - 1 \cdot (-1)) = (1, 1, 2)$.

Уравнение плоскости $\alpha$, проходящей через точку $M(a, a/2, 0)$ с нормальным вектором $\vec{n}=(1,1,2)$, имеет вид:
$1(x-a) + 1(y - \frac{a}{2}) + 2(z-0) = 0$
$x + y + 2z - \frac{3a}{2} = 0$.

Для построения сечения найдем точки пересечения плоскости $\alpha$ с ребрами куба:

• Ребро $AB$ ($x=a, z=0$): $a+y+0-\frac{3a}{2}=0 \Rightarrow y=\frac{a}{2}$. Точка $M(a, \frac{a}{2}, 0)$ - середина $AB$.
• Ребро $BC$ ($y=a, z=0$): $x+a+0-\frac{3a}{2}=0 \Rightarrow x=\frac{a}{2}$. Точка $N(\frac{a}{2}, a, 0)$ - середина $BC$.
• Ребро $CC_1$ ($x=0, y=a$): $0+a+2z-\frac{3a}{2}=0 \Rightarrow 2z=\frac{a}{2} \Rightarrow z=\frac{a}{4}$. Точка $P(0, a, \frac{a}{4})$.
• Ребро $DD_1$ ($x=0, y=0$): $0+0+2z-\frac{3a}{2}=0 \Rightarrow z=\frac{3a}{4}$. Точка $Q(0, 0, \frac{3a}{4})$.
• Ребро $AA_1$ ($x=a, y=0$): $a+0+2z-\frac{3a}{2}=0 \Rightarrow 2z=\frac{a}{2} \Rightarrow z=\frac{a}{4}$. Точка $R(a, 0, \frac{a}{4})$.

Плоскость не пересекает другие ребра куба в пределах их длины. Соединив последовательно полученные точки $M \rightarrow N \rightarrow P \rightarrow Q \rightarrow R \rightarrow M$, получаем искомое сечение - пятиугольник $MNPQR$.

Ответ: Сечением является пятиугольник $MNPQR$, вершины которого лежат на ребрах куба: $M$ - середина $AB$, $N$ - середина $BC$, точка $P$ на $CC_1$ такова, что $CP:PC_1=1:3$, точка $Q$ на $DD_1$ такова, что $DQ:QD_1=3:1$, и точка $R$ на $AA_1$ такова, что $AR:RA_1=1:3$.

В каком отношении секущая плоскость делит отрезок $DB_1$, считая от точки $D$?

Найдем точку пересечения $K$ отрезка $DB_1$ с плоскостью сечения $\alpha$. Координаты точек: $D(0,0,0)$ и $B_1(a,a,a)$.

Параметрическое уравнение прямой $DB_1$ имеет вид:
$L(t): \begin{cases} x = at \\ y = at \\ z = at \end{cases}$, где параметр $t \in [0, 1]$ для точек отрезка $DB_1$.

Подставим эти выражения в уравнение плоскости $\alpha$: $x + y + 2z - \frac{3a}{2} = 0$.
$(at) + (at) + 2(at) - \frac{3a}{2} = 0$
$4at = \frac{3a}{2}$
$t = \frac{3}{8}$.

Поскольку $0 < 3/8 < 1$, точка пересечения $K$ лежит на отрезке $DB_1$. Точка $K$ делит отрезок $DB_1$ в отношении $\frac{DK}{KB_1}$.
Вектор $\vec{DK}$ соответствует значению параметра $t=3/8$, то есть $\vec{DK} = \frac{3}{8}\vec{DB_1}$.
Тогда вектор $\vec{KB_1} = \vec{DB_1} - \vec{DK} = \vec{DB_1} - \frac{3}{8}\vec{DB_1} = \frac{5}{8}\vec{DB_1}$.
Отношение длин отрезков равно отношению модулей векторов, которое в данном случае равно отношению коэффициентов:
$\frac{DK}{KB_1} = \frac{|\vec{DK}|}{|\vec{KB_1}|} = \frac{\frac{3}{8}|\vec{DB_1}|}{\frac{5}{8}|\vec{DB_1}|} = \frac{3}{5}$.

Ответ: Секущая плоскость делит отрезок $DB_1$ в отношении $3:5$, считая от точки $D$.