Номер 5.37, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.37. Точка $M$ — середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки $D$ и $M$ параллельно прямой $AC_1$.

Обозначим искомую плоскость сечения как $ \alpha $.

Построение сечения

1. По условию, точки $ D $ и $ M $ принадлежат секущей плоскости $ \alpha $. Так как обе эти точки лежат в плоскости грани $ DCC_1D_1 $, то отрезок $ DM $ является одной из сторон искомого сечения.

2. Согласно условию, плоскость $ \alpha $ параллельна прямой $ AC_1 $. Рассмотрим плоскость диагонального сечения $ ACC_1A_1 $, которая содержит прямую $ AC_1 $. Линия пересечения плоскости $ \alpha $ с плоскостью $ ACC_1A_1 $ должна быть прямой, параллельной $ AC_1 $.

3. Для построения этой линии пересечения найдем точку, общую для плоскостей $ \alpha $ и $ ACC_1A_1 $. Точка $ M $ принадлежит плоскости $ \alpha $. Одновременно $ M $ является серединой ребра $ CC_1 $, которое лежит в плоскости $ ACC_1A_1 $. Следовательно, точка $ M $ принадлежит обеим плоскостям.

4. Теперь в плоскости $ ACC_1A_1 $ проведем через точку $ M $ прямую, параллельную $ AC_1 $. Пусть эта прямая пересекает диагональ основания $ AC $ в точке $ K $. Таким образом, мы построили прямую $ MK $, которая лежит в секущей плоскости $ \alpha $.

5. Рассмотрим прямоугольник $ ACC_1A_1 $. В нем $ M $ — середина стороны $ CC_1 $, и $ MK \parallel AC_1 $. По теореме Фалеса (или из подобия треугольников $ \triangle CKM $ и $ \triangle CAC_1 $), точка $ K $ является серединой отрезка $ AC $.

6. Точки $ D $ и $ K $ принадлежат секущей плоскости $ \alpha $ и обе лежат в плоскости основания $ ABCD $. Значит, прямая, проходящая через точки $ D $ и $ K $, является линией пересечения плоскости $ \alpha $ с плоскостью основания куба.

7. В основании куба лежит квадрат $ ABCD $. Его диагонали $ AC $ и $ BD $ в точке пересечения делятся пополам. Поскольку $ K $ — середина диагонали $ AC $, точка $ K $ является центром квадрата и, следовательно, лежит на диагонали $ BD $. Таким образом, прямая $ DK $ совпадает с прямой, содержащей диагональ $ BD $.

8. Это означает, что вся диагональ $ DB $ принадлежит секущей плоскости $ \alpha $, и, следовательно, точка $ B $ является еще одной вершиной сечения. Сторона сечения, лежащая в основании, — это отрезок $ DB $.

9. Мы определили три вершины сечения: $ D $, $ M $ и $ B $. Соединим их отрезками. Отрезок $ DM $ лежит в грани $ DCC_1D_1 $, отрезок $ DB $ лежит в грани $ ABCD $, а отрезок $ MB $ соединяет вершину $ B $ и точку $ M $ на ребре $ CC_1 $.

Таким образом, искомое сечение — это треугольник $ DMB $.

Ответ: Сечением куба является треугольник $ DMB $.