Номер 5.30, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.30. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины рёбер $AB$, $CD$ и $AA_1$. Найдите периметр сечения, если $AB = 10$ см, $AD = 17$ см, $AA_1 = 24$ см.

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины рёбер $AB$, $CD$ и $AA_1$

Обозначим середины рёбер $AB$, $CD$ и $AA_1$ как точки $K$, $L$ и $M$ соответственно. 1. Соединим точки $K$ и $L$, так как они обе лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$. Отрезок $KL$ — это след секущей плоскости на плоскости основания. 2. Соединим точки $K$ и $M$, так как они обе лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Отрезок $KM$ — это след секущей плоскости на плоскости передней грани. 3. Плоскость задней грани $DCC_1D_1$ параллельна плоскости передней грани $ABB_1A_1$. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Следовательно, через точку $L$ нужно провести прямую, параллельную $KM$. Эта прямая пересечёт ребро $DD_1$ в точке $N$, которая, по аналогии с точкой $M$, будет серединой ребра $DD_1$. 4. Соединим точки $L$ и $N$, а также $M$ и $N$. Отрезок $MN$ лежит в плоскости левой боковой грани $ADD_1A_1$. В результате получаем четырёхугольник $KLNM$, который и является искомым сечением. Так как по построению $KM \parallel LN$ и, кроме того, $KL \parallel MN$ (поскольку оба отрезка соединяют середины рёбер в параллельных гранях и параллельны ребру $AD$), то сечение $KLNM$ является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — параллелограмм $KLNM$, где $K, L, M, N$ являются серединами рёбер $AB, CD, AA_1$ и $DD_1$ соответственно.

Найдите периметр сечения, если $AB = 10$ см, $AD = 17$ см, $AA_1 = 24$ см

Периметр параллелограмма $KLNM$ вычисляется по формуле $P = 2(KL + KM)$. Найдём длины его смежных сторон $KL$ и $KM$. Длина стороны $KL$ равна длине ребра $AD$, так как отрезок $KL$ соединяет середины противоположных сторон $AB$ и $CD$ в прямоугольнике $ABCD$. $KL = AD = 17$ см. Длину стороны $KM$ найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $AKM$. Этот треугольник является прямоугольным, так как ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и ребру $AB$ ($\angle MAK = 90^\circ$). Катеты этого треугольника равны половинам длин соответствующих рёбер: $AK = \frac{1}{2}AB = \frac{10}{2} = 5$ см. $AM = \frac{1}{2}AA_1 = \frac{24}{2} = 12$ см. Найдём гипотенузу $KM$: $KM = \sqrt{AK^2 + AM^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см. Теперь вычислим периметр сечения: $P_{KLNM} = 2(KL + KM) = 2(17 + 13) = 2 \cdot 30 = 60$ см.

Ответ: 60 см.