Номер 5.35, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.35. На ребре $BB_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точки $E$ и $F$ (рис. 5.26). Постройте линию пересечения плоскостей $AFD$ и $A_1ED_1$.

Рис. 5.26

Для построения линии пересечения двух плоскостей, $(AFD)$ и $(A_1ED_1)$, мы найдем одну общую точку этих плоскостей и определим направление линии их пересечения. Этого достаточно, чтобы однозначно задать искомую прямую.

1. Нахождение общей точки.
Рассмотрим плоскость передней грани параллелепипеда — $(ABB_1A_1)$. Прямые $AF$ и $A_1E$ целиком лежат в этой плоскости, поскольку точки $A$ и $A_1$ принадлежат этой грани, а точки $E$ и $F$ (по условию) лежат на ребре $BB_1$, которое также является стороной этой грани. В плоскости $(ABB_1A_1)$ прямые $AF$ и $A_1E$ не параллельны (они являются секущими для параллельных прямых $AA_1$ и $BB_1$) и, следовательно, пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку $K$.

• Поскольку точка $K$ лежит на прямой $AF$, она принадлежит плоскости $(AFD)$.
• Поскольку точка $K$ лежит на прямой $A_1E$, она принадлежит плоскости $(A_1ED_1)$.

Таким образом, точка $K$ является общей для обеих плоскостей и, значит, лежит на искомой линии пересечения.

2. Определение направления линии пересечения.
Плоскость $(AFD)$ содержит прямую $AD$. Плоскость $(A_1ED_1)$ содержит прямую $A_1D_1$. В прямоугольном параллелепипеде основания параллельны, поэтому рёбра $AD$ и $A_1D_1$ параллельны друг другу: $AD \parallel A_1D_1$. Существует теорема в стереометрии: если две пересекающиеся плоскости проходят через две параллельные прямые, то линия их пересечения параллельна этим прямым. В нашем случае плоскость $(AFD)$ проходит через прямую $AD$, а плоскость $(A_1ED_1)$ — через прямую $A_1D_1$, и $AD \parallel A_1D_1$. Следовательно, линия пересечения этих плоскостей будет параллельна прямым $AD$ и $A_1D_1$.

3. Построение линии пересечения.
Из вышеизложенного следует, что искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $K$ и параллельная ребру $AD$.
Алгоритм построения:

1. В плоскости грани $(ABB_1A_1)$ построить прямые $AF$ и $A_1E$.
2. Найти точку их пересечения $K$.
3. Через точку $K$ провести прямую $l$ так, чтобы она была параллельна прямой $AD$ ($l \parallel AD$).

Прямая $l$ и есть искомая линия пересечения плоскостей $(AFD)$ и $(A_1ED_1)$.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку пересечения прямых $AF$ и $A_1E$ и параллельная ребру $AD$.