Номер 5.34, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.34. На рёбрах $AB$ и $C_1D_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$ и $K$. Постройте линию пересечения плоскостей $AA_1K$ и $DD_1M$. Каково взаимное расположение построенной прямой и прямой $AA_1$?

Построение линии пересечения плоскостей $AA_1K$ и $DD_1M$

Для построения линии пересечения двух плоскостей $(AA_1K)$ и $(DD_1M)$ необходимо найти две их общие точки, либо одну общую точку и направление линии пересечения. Воспользуемся вторым подходом.

1. Определим направление линии пересечения. Плоскость $(AA_1K)$ проходит через прямую $AA_1$. Плоскость $(DD_1M)$ проходит через прямую $DD_1$. В прямоугольном параллелепипеде боковые ребра параллельны, следовательно, $AA_1 \parallel DD_1$. По теореме о линии пересечения двух плоскостей, каждая из которых содержит одну из двух параллельных прямых, их линия пересечения параллельна этим прямым. Таким образом, искомая линия пересечения $l$ параллельна $AA_1$ (и $DD_1$).

2. Теперь найдем одну общую точку этих плоскостей. Для этого найдем точку пересечения их следов на плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$.

3. След плоскости $(AA_1K)$ на плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ — это прямая $A_1K$, так как точки $A_1$ и $K$ принадлежат обеим плоскостям.

4. Чтобы найти след плоскости $(DD_1M)$, построим точку $M_1$ на ребре $A_1B_1$ так, что $A_1M_1 = AM$. Поскольку грань $AA_1B_1B$ — прямоугольник, то $MM_1 \parallel AA_1$. Так как $AA_1 \parallel DD_1$, то $MM_1 \parallel DD_1$. Это означает, что точки $D, D_1, M$ и $M_1$ лежат в одной плоскости — плоскости $(DD_1M)$. Таким образом, прямая $D_1M_1$ является следом плоскости $(DD_1M)$ на плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$.

5. В плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ найдем точку пересечения прямых $A_1K$ и $D_1M_1$. Обозначим эту точку как $P$. Так как точка $P$ лежит на прямой $A_1K$, она принадлежит плоскости $(AA_1K)$. Так как точка $P$ лежит на прямой $D_1M_1$, она принадлежит плоскости $(DD_1M)$. Следовательно, $P$ — общая точка двух плоскостей.

6. Искомая линия пересечения — это прямая $l$, проходящая через построенную точку $P$ и параллельная ребру $AA_1$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $(AA_1K)$ и $(DD_1M)$ — это прямая, проходящая через точку $P$, которая является пересечением прямых $A_1K$ и $D_1M_1$ в плоскости верхнего основания (где точка $M_1$ на ребре $A_1B_1$ такова, что $MM_1 \parallel AA_1$), и параллельная ребру $AA_1$.

Взаимное расположение построенной прямой и прямой $AA_1$

Как было установлено в пункте 1 построения, линия пересечения $l$ плоскостей $(AA_1K)$ и $(DD_1M)$ параллельна прямым $AA_1$ и $DD_1$, так как эти плоскости проходят через данные параллельные прямые.

Строгое обоснование:Пусть $\alpha = (AA_1K)$ и $\beta = (DD_1M)$.Имеем $AA_1 \subset \alpha$ и $DD_1 \subset \beta$, при этом $AA_1 \parallel DD_1$.По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AA_1$ параллельна плоскости $\beta$ (так как $AA_1$ параллельна прямой $DD_1$, лежащей в плоскости $\beta$, и $AA_1$ не лежит в $\beta$ в общем случае).По свойству параллельных прямой и плоскости, если плоскость $\alpha$, содержащая прямую $AA_1$, пересекает плоскость $\beta$ (которой прямая $AA_1$ параллельна), то линия пересечения $l$ параллельна прямой $AA_1$.

Таким образом, построенная прямая $l$ и прямая $AA_1$ параллельны. Они не совпадают, поскольку в общем случае прямая $AA_1$ не принадлежит плоскости $(DD_1M)$ (это было бы возможно, только если бы точки $A, M, D$ лежали на одной прямой, что противоречит условию, так как $M$ лежит на ребре $AB$).

Ответ: Построенная прямая параллельна прямой $AA_1$.