Номер 5.27, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.27. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Через точку $M$, лежащую в плоскости $\alpha$, проведена прямая $b$, параллельная прямой $a$. Докажите, что прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.

Дано:
Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).
Точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).
Через точку $M$ проведена прямая $b$, параллельная прямой $a$ ($M \in b$, $b \parallel a$).

Доказать:
Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$.

Так как точка $M$ принадлежит и прямой $b$, и плоскости $\alpha$ ($M \in b$ и $M \in \alpha$), то из нашего предположения следует, что прямая $b$ лишь пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $M$.

Поскольку прямая $a \parallel \alpha$ и точка $M \in \alpha$, то точка $M$ не лежит на прямой $a$ ($M \notin a$). Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведём через прямую $a$ и точку $M$ плоскость $\beta$. Таким образом, $a \subset \beta$ и $M \in \beta$.

Плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает плоскость $\alpha$, так как у них есть общая точка $M$. По следствию из аксиом, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую $c$. Итак, $c = \alpha \cap \beta$.

Согласно теореме (иногда называемой леммой о параллельных прямых), если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($a$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения ($c$) параллельна данной прямой ($a$). Следовательно, $c \parallel a$. Так как точка $M$ лежит в обеих плоскостях ($\alpha$ и $\beta$), она принадлежит и линии их пересечения: $M \in c$.

По условию задачи, через точку $M$ проходит прямая $b$, которая также параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).

В итоге мы получили, что через точку $M$ проходят две прямые, $b$ и $c$, и обе они параллельны прямой $a$. Согласно аксиоме о параллельных прямых (V постулат Евклида), через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Из этого следует, что прямые $b$ и $c$ должны совпадать, то есть $b = c$.

Но прямая $c$, как линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, по определению целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). Поскольку $b = c$, то и прямая $b$ должна целиком лежать в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Это утверждение противоречит нашему первоначальному предположению о том, что прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, это предположение было неверным.

Таким образом, истинным является утверждение, что прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.