Номер 5.33, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.33. На рёбрах $AD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ (рис. 5.25). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $MK$ параллельно прямой $AB$.

Рис. 5.25

Построение

1. В плоскости грани $DAB$ проведем через точку $M$ прямую, параллельную прямой $AB$. Точку пересечения этой прямой с ребром $DB$ обозначим $N$. Отрезок $MN$ — первая сторона сечения.
2. В плоскости грани $CAB$ проведем через точку $K$ прямую, параллельную прямой $AB$. Точку пересечения этой прямой с ребром $AC$ обозначим $P$. Отрезок $KP$ — вторая сторона сечения.
3. Соединим точки $N$ и $K$, лежащие в плоскости грани $DCB$. Отрезок $NK$ — третья сторона сечения.
4. Соединим точки $P$ и $M$, лежащие в плоскости грани $DCA$. Отрезок $PM$ — четвертая сторона сечения.
5. Четырехугольник $MNKP$ — искомое сечение.

Обоснование

Пусть $\alpha$ — плоскость искомого сечения. По условию, $\alpha$ проходит через прямую $MK$ и параллельна прямой $AB$.

1. По свойству параллельных прямой и плоскости: если плоскость ($\alpha$) проходит через прямую ($MN$), параллельную другой прямой ($AB$), то она параллельна этой прямой ($AB$). Мы строим прямую $MN$ в плоскости грани $DAB$ так, что $M \in MN$ и $MN \parallel AB$. Таким образом, мы определяем след плоскости $\alpha$ на грани $DAB$. Точки $M$ и $N$ принадлежат плоскости сечения.

2. Аналогично, плоскость $\alpha$ пересекает плоскость грани $CAB$ по прямой, проходящей через точку $K$ и параллельной $AB$. Мы строим прямую $KP$ в плоскости грани $CAB$ так, что $K \in KP$ и $KP \parallel AB$. Таким образом, мы определяем след плоскости $\alpha$ на грани $CAB$. Точки $K$ и $P$ принадлежат плоскости сечения.

3. Из построения следует, что $MN \parallel AB$ и $KP \parallel AB$. По свойству транзитивности параллельных прямых, $MN \parallel KP$. Две параллельные прямые однозначно задают плоскость, следовательно, точки $M, N, K, P$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Эта плоскость проходит через точки $M$ и $K$ (а значит, и через прямую $MK$) и параллельна прямой $AB$, так как содержит прямую $MN$, параллельную $AB$.

4. Отрезки $MN, NK, KP, PM$ являются линиями пересечения плоскости $\alpha$ с гранями тетраэдра $DAB, DCB, CAB, DCA$ соответственно. Следовательно, четырехугольник $MNKP$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник $MNKP$, полученный в результате построения, где $N$ — точка на ребре $DB$ такая, что $MN \parallel AB$, а $P$ — точка на ребре $AC$ такая, что $KP \parallel AB$.