Номер 5.39, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.39. Точки $E$, $F$ и $K$ — середины соответственно рёбер $AD$, $A_1B_1$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте сечение куба плоскостью $EFK$.

Для построения сечения куба плоскостью $EFK$ выполним последовательность шагов, используя метод следов и свойство параллельности граней куба.

1. Нахождение следа секущей плоскости на плоскости нижнего основания.

   Следом плоскости сечения на плоскости грани куба называется прямая, по которой они пересекаются. Найдем след секущей плоскости $(EFK)$ на плоскости нижнего основания $(ABC)$.

   • Точка $E$ является серединой ребра $AD$, поэтому она принадлежит плоскости $(ABC)$. Следовательно, точка $E$ лежит на искомом следе.
   • Чтобы найти вторую точку следа, найдем точку пересечения прямой $FK$ с плоскостью $(ABC)$. Обозначим эту точку $P$. Для этого спроецируем прямую $FK$ на плоскость $(ABC)$. Проекцией точки $F$ (середины $A_1B_1$) является точка $F'$, середина ребра $AB$. Проекцией точки $K$ (середины $CC_1$) является вершина $C$. Значит, точка $P$ лежит на прямой, содержащей отрезок $F'C$.
   • Рассмотрим вертикальную плоскость, проходящую через прямую $FK$. В этой плоскости лежат перпендикуляры $FF'$ и $KC$ к плоскости $(ABC)$. Если ребро куба равно $a$, то $FF'=a$, а $KC = a/2$. Из подобия прямоугольных треугольников $\triangle PFF'$ и $\triangle PKC$ следует, что $\frac{PF'}{PC} = \frac{FF'}{KC} = \frac{a}{a/2} = 2$. Это означает, что точка $C$ является серединой отрезка $PF'$.
   • Строим точку $P$ на продолжении отрезка $F'C$ за точку $C$ так, что $F'C=CP$. Прямая, проходящая через точки $E$ и $P$, является следом секущей плоскости на плоскости $(ABC)$.
2. Построение сторон сечения на гранях куба.
   • След $EP$ пересекает ребро $CD$ в некоторой точке $M$. Можно показать, что прямая $EP$ параллельна диагонали $AC$. Так как $E$ — середина $AD$, то и $M$ будет серединой ребра $CD$. Отрезок $EM$ — это линия пересечения секущей плоскости с гранью $ABCD$ и первая сторона сечения.
   • Грань $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельна грани $(ABCD)$. Следовательно, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Проведем через точку $F$ в плоскости верхней грани прямую, параллельную $EM$. Эта прямая пересечет ребро $B_1C_1$ в точке $N$. Так как $F$ — середина $A_1B_1$, то $N$ будет серединой ребра $B_1C_1$. Отрезок $FN$ — вторая сторона сечения.
   • Точки $M$ (середина $CD$) и $K$ (середина $CC_1$) лежат в одной задней грани $(DCC_1D_1)$. Соединив их, получаем сторону сечения $MK$.
   • Точки $K$ (середина $CC_1$) и $N$ (середина $B_1C_1$) лежат в одной правой грани $(BCC_1B_1)$. Соединив их, получаем сторону сечения $KN$.
   • Грань $(ABB_1A_1)$ параллельна грани $(DCC_1D_1)$. Значит, линия пересечения секущей плоскости с передней гранью параллельна отрезку $MK$. Проведем через точку $F$ прямую, параллельную $MK$. Она пересечет ребро $AA_1$ в точке $L$. Можно показать, что $L$ — середина ребра $AA_1$. Отрезок $FL$ — пятая сторона сечения.
   • Точки $L$ (середина $AA_1$) и $E$ (середина $AD$) лежат в одной левой грани $(ADD_1A_1)$. Соединяем их и получаем последнюю, шестую, сторону сечения $LE$.

В результате построений мы получили шестиугольник $LEMKNF$.

Ответ: Искомое сечение — шестиугольник $LEMKNF$, вершинами которого являются середины ребер $AA_1, AD, CD, CC_1, B_1C_1$ и $A_1B_1$ соответственно.