Номер 5.43, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.43. Основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$. Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ и параллельной прямым $AC$ и $SD$. В каком отношении секущая плоскость делит ребро $SB$, считая от точки $S$?

Задача состоит из двух частей: построение сечения пирамиды и нахождение отношения, в котором секущая плоскость делит ребро $SB$.

Пусть $\alpha$ — секущая плоскость. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ — середину ребра $AB$, и параллельна прямым $AC$ и $SD$.

1. Построим след секущей плоскости $\alpha$ на плоскости основания $(ABC)$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$, которая лежит в плоскости $(ABC)$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ABC)$ должна быть параллельна $AC$. Проведём в плоскости $(ABC)$ через точку $M$ прямую, параллельную $AC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $BC$ в точке $N$. В треугольнике $\triangle ABC$ отрезок $MN$ параллелен $AC$, и точка $M$ является серединой стороны $AB$. По теореме Фалеса, точка $N$ является серединой стороны $BC$. Таким образом, отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $\triangle ABC$ и является одной из сторон искомого сечения.

2. Теперь используем второе условие: плоскость $\alpha$ параллельна ребру $SD$. Рассмотрим диагональную плоскость $(SBD)$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(SBD)$ должна быть параллельна $SD$. Чтобы построить эту линию, нам нужна точка, принадлежащая одновременно плоскостям $\alpha$ и $(SBD)$.

3. Найдём такую точку. Пусть диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. В плоскости основания $(ABC)$ отрезок $MN$ пересекает диагональ $BD$ в некоторой точке $K$. Точка $K$ лежит на отрезке $MN$, следовательно, $K$ принадлежит секущей плоскости $\alpha$. Точка $K$ также лежит на диагонали $BD$, следовательно, $K$ принадлежит плоскости $(SBD)$.

4. Определим положение точки $K$ на диагонали $BD$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, $O$ — середина диагонали $BD$, то есть $BO = \frac{1}{2}BD$. В треугольнике $\triangle ABC$ отрезок $BO$ является медианой. Рассмотрим треугольник $\triangle ABO$. $M$ — середина $AB$. Точка $K$ лежит на медиане $BO$. В $\triangle ABC$ отрезок $MN$ является средней линией. Известно, что средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне. В частности, $MN$ делит пополам медиану $BO$. Таким образом, $K$ — середина отрезка $BO$.

Отсюда следует, что $BK = \frac{1}{2}BO = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}BD \right) = \frac{1}{4}BD$.

5. Теперь в плоскости $(SBD)$ проведём через точку $K$ прямую, параллельную ребру $SD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $SB$ в точке $Q$. Отрезок $KQ$ является частью сечения.

6. Рассмотрим треугольник $\triangle SBD$. Прямая $KQ$ параллельна стороне $SD$ и пересекает стороны $SB$ и $BD$. По обобщённой теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках):$$ \frac{BQ}{BS} = \frac{BK}{BD} $$Мы нашли, что $\frac{BK}{BD} = \frac{1}{4}$, следовательно:$$ \frac{BQ}{BS} = \frac{1}{4} $$

7. Найдём отношение, в котором точка $Q$ делит ребро $SB$, считая от точки $S$.$$ SQ = SB - BQ = SB - \frac{1}{4}SB = \frac{3}{4}SB $$Таким образом, $SQ = \frac{3}{4}SB$, а $QB = \frac{1}{4}SB$. Отношение этих отрезков:$$ \frac{SQ}{QB} = \frac{\frac{3}{4}SB}{\frac{1}{4}SB} = 3 $$Следовательно, секущая плоскость делит ребро $SB$ в отношении $3:1$, считая от точки $S$.

8. Мы нашли три вершины сечения: $M$, $N$ и $Q$. Сечение представляет собой пятиугольник. Для полного построения необходимо найти его остальные вершины. Одна из них, точка $R$, лежит на ребре $SC$, а другая, точка $P$, — на ребре $SA$. Соединяя последовательно точки $M, N, R, P, Q$, получим искомое сечение $MNRPQ$. (Дальнейшие построения показывают, что $P$ — середина $SA$, а $R$ — середина $SC$, но это не требуется для ответа на второй вопрос задачи).

Ответ: Секущая плоскость делит ребро $SB$ в отношении $3:1$, считая от точки $S$.