Номер 5.48, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.48. Основанием пирамиды $SABCD$ является трапеция $ABCD$, в которой $AD \parallel BC$ и $\frac{AD}{BC} = 3$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. В каком отношении плоскость $MND$ делит ребро $SC$, считая от точки $S$?

Пусть плоскость $(MND)$ пересекает ребро $SC$ в точке $K$. Нам необходимо найти отношение $SK:KC$. Для решения задачи воспользуемся методом построения сечения.

Сначала найдем прямую, по которой секущая плоскость $(MND)$ пересекает плоскость основания $(ABCD)$. По условию, точки $M$ и $N$ — середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $SAB$. Из этого следует, что прямая $MN$ параллельна прямой $AB$ ($MN \parallel AB$). Плоскость $(MND)$ проходит через прямую $MN$, а плоскость основания $(ABCD)$ проходит через прямую $AB$. Поскольку $MN \parallel AB$, линия пересечения этих плоскостей будет прямой, параллельной $AB$ и $MN$. Точка $D$ принадлежит как плоскости основания, так и секущей плоскости, значит, эта линия пересечения проходит через точку $D$. Обозначим эту прямую $l$. Итак, $l = (MND) \cap (ABCD)$ и $l \parallel AB$.

Теперь найдем прямую пересечения плоскости $(MND)$ с плоскостью грани $(SBC)$. Точка $N$ является общей точкой этих двух плоскостей, так как $N \in SB$ и $N \in (MND)$. Чтобы найти вторую общую точку, найдем пересечение прямой $l$ (которая лежит в плоскости $MND$) и прямой $BC$ (которая лежит в плоскости $SBC$). Обе эти прямые лежат в плоскости основания $(ABCD)$. Пусть $E$ — точка их пересечения ($E = l \cap BC$). Так как $E \in l$, то $E \in (MND)$. Так как $E \in BC$, то $E \in (SBC)$. Следовательно, прямая $NE$ является линией пересечения плоскостей $(MND)$ и $(SBC)$.

Искомая точка $K$ является точкой пересечения секущей плоскости $(MND)$ и ребра $SC$. Поскольку ребро $SC$ лежит в плоскости $(SBC)$, а линия пересечения $(MND)$ и $(SBC)$ — это прямая $NE$, точка $K$ должна лежать на этой прямой. Таким образом, $K = NE \cap SC$.

Теперь рассмотрим плоскость грани $(SBC)$. В этой плоскости прямая $NE$ пересекает стороны треугольника $SBC$ (или их продолжения). К треугольнику $SBC$ и секущей $NKE$ можно применить теорему Менелая: $$ \frac{SN}{NB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CK}{KS} = 1 $$

Найдем значения отношений в этой формуле: 1. Поскольку $N$ — середина ребра $SB$, то $SN = NB$, и отношение $\frac{SN}{NB} = 1$. 2. Для нахождения отношения $\frac{BE}{EC}$ рассмотрим плоскость основания $ABCD$. В этой плоскости прямая $l$ проходит через точку $D$ параллельно $AB$ и пересекает прямую $BC$ в точке $E$. Введем векторы с началом в точке $B$. Пусть $\vec{BA} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{c}$. Из условия $AD \parallel BC$ и $AD = 3BC$ следует, что $\vec{AD} = 3\vec{BC} = 3\vec{c}$. Выразим вектор положения точки $D$: $\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{a} + 3\vec{c}$. Прямая $l$ проходит через $D$ и параллельна $AB$. Ее направляющим вектором является $\vec{BA} = \vec{a}$. Параметрическое уравнение прямой $l$: $\vec{r}(t) = \vec{BD} + t\vec{BA} = (\vec{a} + 3\vec{c}) + t\vec{a} = (1+t)\vec{a} + 3\vec{c}$. Прямая $BC$ проходит через точку $B$ (начало векторов) и имеет направляющий вектор $\vec{BC} = \vec{c}$. Ее уравнение: $\vec{r}(s) = s\vec{c}$. Для нахождения точки пересечения $E$ приравняем выражения для $\vec{r}$: $$ s\vec{c} = (1+t)\vec{a} + 3\vec{c} $$ $$ (s-3)\vec{c} - (1+t)\vec{a} = \vec{0} $$ Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ неколлинеарны (так как $A, B, C$ не лежат на одной прямой), это равенство выполняется только тогда, когда коэффициенты при векторах равны нулю: $s-3=0 \implies s=3$ $1+t=0 \implies t=-1$ Вектор положения точки $E$ равен $\vec{BE} = s\vec{c} = 3\vec{c} = 3\vec{BC}$. Это означает, что точки $B, C, E$ лежат на одной прямой в указанном порядке, и длина отрезка $BE$ в три раза больше длины $BC$. Тогда $CE = BE - BC = 3BC - BC = 2BC$. Следовательно, отношение $\frac{BE}{EC} = \frac{3BC}{2BC} = \frac{3}{2}$.

Подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая: $$ 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CK}{KS} = 1 $$ Из этого уравнения находим: $$ \frac{CK}{KS} = \frac{2}{3} $$ В задаче требуется найти отношение, в котором плоскость делит ребро $SC$, считая от точки $S$, то есть отношение $SK : KC$. $$ \frac{SK}{KC} = \frac{1}{CK/KS} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2} $$ Таким образом, плоскость $MND$ делит ребро $SC$ в отношении $3:2$, считая от вершины $S$.
Ответ: $3:2$