Номер 5.53, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.53. Точки $M$ и $N$ — середины соответственно рёбер $AA_1$ и $BB_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$. На отрезках $BM$ и $AC_1$ соответственно отметили точки $P$ и $K$ так, что $PK \parallel CN$. Найдите отношение $\frac{PK}{CN}$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базис, связанный с вершиной $A$ призмы: $\vec{a} = \vec{AA_1}$, $\vec{b} = \vec{AB}$ и $\vec{c} = \vec{AC}$. В этом базисе радиус-векторы вершин будут $\vec{r}_A = \vec{0}$, $\vec{r}_B = \vec{b}$, $\vec{r}_C = \vec{c}$, $\vec{r}_{A_1} = \vec{a}$, $\vec{r}_{B_1} = \vec{a}+\vec{b}$, $\vec{r}_{C_1} = \vec{a}+\vec{c}$.

Выразим радиус-векторы точек $M$ и $N$:

• Точка $M$ — середина ребра $AA_1$, поэтому ее радиус-вектор $\vec{r}_M = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_{A_1}}{2} = \frac{\vec{0} + \vec{a}}{2} = \frac{1}{2}\vec{a}$.
• Точка $N$ — середина ребра $BB_1$, поэтому ее радиус-вектор $\vec{r}_N = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_{B_1}}{2} = \frac{\vec{b} + (\vec{a}+\vec{b})}{2} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$.

Точка $P$ лежит на отрезке $BM$. Ее радиус-вектор можно представить в виде линейной комбинации радиус-векторов точек $B$ и $M$:

$\vec{r}_P = (1-t)\vec{r}_B + t\vec{r}_M = (1-t)\vec{b} + t\left(\frac{1}{2}\vec{a}\right)$ для некоторого $t \in [0, 1]$.

Точка $K$ лежит на отрезке $AC_1$. Ее радиус-вектор можно представить в виде:

$\vec{r}_K = s\vec{r}_{C_1} + (1-s)\vec{r}_A = s(\vec{a}+\vec{c})$ для некоторого $s \in [0, 1]$.

Теперь найдем векторы $\vec{CN}$ и $\vec{PK}$ в выбранном базисе:

$\vec{CN} = \vec{r}_N - \vec{r}_C = \left(\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}\right) - \vec{c} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

$\vec{PK} = \vec{r}_K - \vec{r}_P = s(\vec{a}+\vec{c}) - \left((1-t)\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{a}\right) = \left(s - \frac{t}{2}\right)\vec{a} - (1-t)\vec{b} + s\vec{c}$.

По условию, векторы $\vec{PK}$ и $\vec{CN}$ параллельны, следовательно, один является произведением другого на некоторый скаляр $\lambda$: $\vec{PK} = \lambda \vec{CN}$. Искомое отношение длин отрезков $\frac{PK}{CN}$ будет равно $|\lambda|$.

Запишем векторное равенство:

$\left(s - \frac{t}{2}\right)\vec{a} - (1-t)\vec{b} + s\vec{c} = \lambda\left(\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}\right)$

Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ линейно независимы (так как они определяют призму), мы можем приравнять коэффициенты при них в левой и правой частях равенства. Получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными $s, t, \lambda$:

$\begin{cases} s - \frac{t}{2} = \frac{\lambda}{2} & (1) \\ -(1-t) = \lambda & (2) \\ s = -\lambda & (3) \end{cases}$

Решим эту систему. Из уравнения (2) выразим $t$: $t-1 = \lambda \implies t = 1+\lambda$.

Уравнение (3) уже дает выражение для $s$: $s = -\lambda$.

Подставим выражения для $s$ и $t$ в уравнение (1):

$(-\lambda) - \frac{1+\lambda}{2} = \frac{\lambda}{2}$

Умножим все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

$-2\lambda - (1+\lambda) = \lambda$

$-2\lambda - 1 - \lambda = \lambda$

$-3\lambda - 1 = \lambda$

$4\lambda = -1$

$\lambda = -\frac{1}{4}$

Искомое отношение $\frac{PK}{CN}$ равно модулю $\lambda$:

$\frac{PK}{CN} = |\lambda| = \left|-\frac{1}{4}\right| = \frac{1}{4}$.

При этом значения $s = -\lambda = \frac{1}{4}$ и $t = 1+\lambda = 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ принадлежат отрезку $[0, 1]$, что подтверждает, что точки $P$ и $K$ лежат на указанных в условии отрезках.

Ответ: $\frac{1}{4}$.