Номер 5.56, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.56. Боковые стороны прямоугольной трапеции относятся как 3 : 5, а разность оснований равна 16 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ равна 13 см.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AB$ и $CD$ — основания ($AB > CD$), а $AD$ и $BC$ — боковые стороны, причем $AD \perp AB$. Таким образом, $AD$ является высотой трапеции $h$.

По условию, боковые стороны относятся как $3:5$. В прямоугольной трапеции боковая сторона, перпендикулярная основаниям ($AD$), короче наклонной боковой стороны ($BC$). Следовательно, $AD : BC = 3:5$.
Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда высота $h = AD = 3x$, а боковая сторона $BC = 5x$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AB$. Образуется прямоугольник $ADCH$ и прямоугольный треугольник $CHB$.
Из свойств прямоугольника следует, что $CH = AD = 3x$ и $AH = CD$.
Отрезок $HB$ можно найти как разность оснований: $HB = AB - AH = AB - CD$.
По условию задачи, разность оснований равна 16 см, значит, $HB = 16$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHB$. Применим к нему теорему Пифагора: $BC^2 = CH^2 + HB^2$.
Подставим известные выражения для сторон:
$(5x)^2 = (3x)^2 + 16^2$
$25x^2 = 9x^2 + 256$
$16x^2 = 256$
$x^2 = \frac{256}{16}$
$x^2 = 16$
$x = 4$ см.

Теперь найдем высоту трапеции $AD$:
$h = AD = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.

В прямоугольной трапеции диагонали имеют разную длину. Сравним квадраты их длин:$AC^2 = AD^2 + CD^2 = h^2 + CD^2$$BD^2 = AD^2 + AB^2 = h^2 + AB^2$Так как $AB > CD$, то $BD^2 > AC^2$, и, следовательно, $BD > AC$. Значит, меньшая диагональ — это $AC$, и по условию ее длина равна 13 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. По теореме Пифагора $AC^2 = AD^2 + CD^2$.
Найдем длину меньшего основания $CD$:
$13^2 = 12^2 + CD^2$
$169 = 144 + CD^2$
$CD^2 = 169 - 144 = 25$
$CD = 5$ см.

Теперь найдем длину большего основания $AB$, используя известную разность оснований:
$AB - CD = 16$
$AB - 5 = 16$
$AB = 21$ см.

Наконец, вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота:
$S = \frac{AB+CD}{2} \cdot AD = \frac{21+5}{2} \cdot 12 = \frac{26}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156$ см$^2$.

Ответ: 156 см$^2$.