Номер 5.55, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.55. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $BC$ равен 7 см, а радиус описанной окружности — 9 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины острого угла $B$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$. Так как угол $B$ острый, прямой угол — это либо $A$, либо $C$. Предположим, что $\angle C = 90^\circ$. По условию, катет $BC = 7$ см, а радиус описанной окружности $R = 9$ см.

1. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности является серединой гипотенузы, а ее радиус равен половине длины гипотенузы. Следовательно, гипотенуза $AB$ равна:

$AB = 2R = 2 \cdot 9 = 18$ см.

2. Используя теорему Пифагора для треугольника $ABC$, найдем длину второго катета $AC$:

$AB^2 = BC^2 + AC^2$

$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 18^2 - 7^2 = 324 - 49 = 275$

$AC = \sqrt{275} = \sqrt{25 \cdot 11} = 5\sqrt{11}$ см.

3. Длину биссектрисы $l_B$, проведенной из вершины угла $B$, можно найти по формуле, связывающей ее с прилежащими сторонами $AB$ и $BC$ и углом $B$:

$l_B = \frac{2 \cdot AB \cdot BC}{AB + BC} \cos\left(\frac{B}{2}\right)$

4. Сначала найдем косинус угла $B$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(B) = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{18}$

5. Теперь, используя формулу половинного угла для косинуса, найдем $\cos\left(\frac{B}{2}\right)$. Так как угол $B$ острый, его половина также будет острым углом, поэтому $\cos\left(\frac{B}{2}\right)$ будет положительным.

$\cos\left(\frac{B}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(B)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{7}{18}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{18+7}{18}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25}{18}}{2}} = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$

6. Подставим найденные значения в формулу для длины биссектрисы:

$l_B = \frac{2 \cdot 18 \cdot 7}{18 + 7} \cdot \frac{5}{6} = \frac{252}{25} \cdot \frac{5}{6}$

Сократим дробь:

$l_B = \frac{252 \cdot 5}{25 \cdot 6} = \frac{(42 \cdot 6) \cdot 5}{(5 \cdot 5) \cdot 6} = \frac{42}{5} = 8,4$ см.

Ответ: $8,4$ см.