Вопросы, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какие плоскости называют параллельными?

2. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.

3. В каких случаях говорят, что два многоугольника параллельны?

4. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельных плоскостей.

1. Какие плоскости называют параллельными?

Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. Параллельность плоскостей $\alpha$ и $\beta$ обозначается как $\alpha \parallel \beta$.

Ответ: Параллельными называют плоскости, которые не имеют общих точек.

2. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.

Признак параллельности двух плоскостей гласит: если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Более формально: пусть в плоскости $\alpha$ лежат прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $M$ ($a \cap b = M$), а в плоскости $\beta$ лежат прямые $a_1$ и $b_1$, пересекающиеся в точке $M_1$ ($a_1 \cap b_1 = M_1$). Если $a \parallel a_1$ и $b \parallel b_1$, то плоскости параллельны: $\alpha \parallel \beta$.

Ответ: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

3. В каких случаях говорят, что два многоугольника параллельны?

Два многоугольника называют параллельными, если они лежат в параллельных плоскостях. Это означает, что если многоугольник $M_1$ целиком принадлежит плоскости $\alpha$, а многоугольник $M_2$ целиком принадлежит плоскости $\beta$, и при этом плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), то многоугольники $M_1$ и $M_2$ считаются параллельными.

Ответ: Два многоугольника параллельны, если они лежат в параллельных плоскостях.

4. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельных плоскостей.

Основные свойства параллельных плоскостей выражаются следующими теоремами:

Свойство 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. То есть, если $\alpha \parallel \beta$ и плоскость $\gamma$ пересекает $\alpha$ по прямой $a$ и $\beta$ по прямой $b$, то $a \parallel b$.

Свойство 2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. То есть, если плоскости $\alpha \parallel \beta$, а прямые $l_1 \parallel l_2$, и они пересекают плоскости в точках $A_1, B_1$ и $A_2, B_2$ соответственно ($A_1, A_2 \in \alpha$; $B_1, B_2 \in \beta$), то длины отрезков $A_1B_1$ и $A_2B_2$ равны.

Свойство 3 (Теорема о существовании и единственности). Через точку, не лежащую на данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом только одна.

Ответ: 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то их линии пересечения параллельны. 2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. 3. Через точку вне данной плоскости проходит единственная плоскость, параллельная данной.