Номер 6.6, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.6. Можно ли утверждать, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости трапеции, если плоскость $\alpha$ параллельна:

1) основаниям трапеции;

2) боковым сторонам трапеции?

1) основаниям трапеции;
Пусть трапеция лежит в плоскости $\beta$. Обозначим ее основания как $a$ и $b$. По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $a \parallel b$. Обе эти прямые, $a$ и $b$, лежат в плоскости $\beta$.
По условию, плоскость $\alpha$ параллельна основаниям трапеции, что означает $\alpha \parallel a$ и $\alpha \parallel b$.
Для того чтобы утверждать, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, необходимо выполнение признака параллельности двух плоскостей. Признак гласит: "Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны".
В данном случае прямые $a$ и $b$, лежащие в плоскости $\beta$ и параллельные плоскости $\alpha$, не пересекаются, а параллельны друг другу. Следовательно, признак параллельности плоскостей не выполняется.
Можно привести контрпример. Пусть плоскость $\beta$ (плоскость трапеции) пересекается с плоскостью $\alpha$ по некоторой прямой $l$. Если прямая $l$ будет параллельна основаниям трапеции ($l \parallel a$ и, следовательно, $l \parallel b$), то плоскость $\alpha$ будет параллельна основаниям $a$ и $b$ (так как в плоскости $\alpha$ есть прямая $l$, параллельная $a$ и $b$), но при этом плоскость $\alpha$ не будет параллельна плоскости $\beta$, поскольку они пересекаются.
Таким образом, утверждать, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости трапеции, нельзя.
Ответ: нет.

2) боковым сторонам трапеции?
Пусть трапеция лежит в плоскости $\beta$. Обозначим ее боковые стороны как $c$ и $d$.
По определению трапеции (четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна), боковые стороны не параллельны. Поскольку боковые стороны $c$ и $d$ лежат в одной плоскости $\beta$ и не параллельны, они являются пересекающимися прямыми (если их продолжить).
По условию, плоскость $\alpha$ параллельна боковым сторонам трапеции, то есть $\alpha \parallel c$ и $\alpha \parallel d$.
Мы имеем две пересекающиеся прямые ($c$ и $d$) в плоскости $\beta$, и обе эти прямые параллельны плоскости $\alpha$. В этом случае выполняется признак параллельности двух плоскостей, который гласит: "Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны".
Следовательно, можно утверждать, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$.
Ответ: да.