Номер 6.10, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.10. Даны параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Отрезок $AB$ и точка $C$ лежат в плоскости $\alpha$, точка $D$ — в плоскости $\beta$ (рис. 6.14). Постройте линию пересечения:

1) плоскости $\beta$ и плоскости $ABD$;

2) плоскости $\beta$ и плоскости $BCD$.

Рис. 6.14

1) Для построения линии пересечения плоскости $\beta$ и плоскости $ABD$ воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Дано, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).

Плоскость $ABD$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $AB$, так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$.

Согласно теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны. Следовательно, линия пересечения плоскости $ABD$ с плоскостью $\beta$ будет параллельна прямой $AB$.

Точка $D$ принадлежит плоскости $ABD$ по построению и плоскости $\beta$ по условию задачи. Это означает, что точка $D$ является общей точкой для плоскости $ABD$ и плоскости $\beta$, и, следовательно, лежит на их линии пересечения.

Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая, которая проходит через точку $D$ и параллельна прямой $AB$.
Ответ: Прямая, проходящая через точку $D$ параллельно прямой $AB$.

2) Для построения линии пересечения плоскости $\beta$ и плоскости $BCD$ применим тот же подход.

Плоскость $BCD$ пересекает плоскость $\alpha$. Точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$ (так как отрезок $AB$ и точка $C$ лежат в $\alpha$). Одновременно точки $B$ и $C$ принадлежат плоскости $BCD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $BCD$ и плоскости $\alpha$ — это прямая $BC$.

Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то линия пересечения плоскости $BCD$ с плоскостью $\beta$ будет параллельна линии ее пересечения с плоскостью $\alpha$, то есть прямой $BC$.

Точка $D$ принадлежит плоскости $BCD$ по построению и плоскости $\beta$ по условию. Значит, точка $D$ лежит на линии пересечения плоскостей $BCD$ и $\beta$.

Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая, которая проходит через точку $D$ и параллельна прямой $BC$.
Ответ: Прямая, проходящая через точку $D$ параллельно прямой $BC$.