Номер 6.16, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.16. На ребре $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 1 : 2$ (рис. 6.16). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной плоскости $ACC_1$. Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно $a$.

Рис. 6.16

Построение сечения

Пусть искомая секущая плоскость — это плоскость $ \alpha $. По условию, $ \alpha $ проходит через точку $ M $ на ребре $ AB $ и параллельна плоскости $ (ACC_1) $. Плоскость $ (ACC_1) $ является диагональной плоскостью куба, проходящей через диагональ основания $ AC $ и боковое ребро $ CC_1 $, и совпадает с плоскостью $ (ACC_1A_1) $.

Для построения сечения используем свойство: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

1) В плоскости нижнего основания $ (ABCD) $ проведем через точку $ M $ прямую, параллельную диагонали $ AC $. Эта прямая пересекает ребро $ BC $ в точке $ N $. Отрезок $ MN $ — одна из сторон сечения.

2) В плоскости боковой грани $ (BCC_1B_1) $ проведем через точку $ N $ прямую, параллельную ребру $ CC_1 $. Эта прямая пересекает ребро $ B_1C_1 $ в точке $ P $. Отрезок $ NP $ — вторая сторона сечения.

3) В плоскости верхнего основания $ (A_1B_1C_1D_1) $ проведем через точку $ P $ прямую, параллельную диагонали $ A_1C_1 $. Она пересечет ребро $ A_1B_1 $ в точке $ K $. Отрезок $ PK $ — третья сторона сечения.

4) Соединим точки $ K $ и $ M $. Отрезок $ KM $ лежит в плоскости передней грани $ (ABB_1A_1) $. Он замыкает сечение и будет параллелен ребру $ AA_1 $.

Искомое сечение — это четырехугольник $ MNPK $. Поскольку противолежащие стороны сечения попарно параллельны ($ MN \parallel PK $ и $ NP \parallel KM $), $ MNPK $ — параллелограмм. Ребро куба $ AA_1 $ перпендикулярно плоскости основания $ (ABCD) $. Так как $ KM \parallel AA_1 $, то и $ KM $ перпендикулярно плоскости $ (ABCD) $, а значит и прямой $ MN $, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $ \angle KMN = 90^\circ $, и сечение $ MNPK $ является прямоугольником.

Нахождение периметра полученного сечения

Периметр прямоугольника $ MNPK $ вычисляется по формуле $ P = 2(KM + MN) $.

Сначала найдем длины сторон прямоугольника. Длина стороны $ KM $ равна длине бокового ребра куба, так как отрезок $ KM $ соединяет параллельные грани $ ABCD $ и $ A_1B_1C_1D_1 $ и параллелен боковому ребру $ AA_1 $. Следовательно, $ KM = a $.

Далее найдем длину стороны $ MN $. В основании куба лежит квадрат $ ABCD $. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ABC $. По теореме Пифагора, его гипотенуза $ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} $. По построению $ MN \parallel AC $, следовательно, треугольник $ \triangle BMN $ подобен треугольнику $ \triangle BAC $. Из условия задачи $ AM : MB = 1:2 $, значит $ MB = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}a $. Коэффициент подобия $ k $ равен отношению соответственных сторон: $ k = \frac{BM}{BA} = \frac{\frac{2}{3}a}{a} = \frac{2}{3} $. Отсюда находим длину $ MN $: $ MN = k \cdot AC = \frac{2}{3} \cdot a\sqrt{2} = \frac{2a\sqrt{2}}{3} $.

Теперь вычислим периметр сечения:
$ P = 2(KM + MN) = 2 \left( a + \frac{2a\sqrt{2}}{3} \right) = 2a + \frac{4a\sqrt{2}}{3} $.

Ответ: $ 2a + \frac{4a\sqrt{2}}{3} $.