Номер 6.20, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.20. Точка $M$ принадлежит ребру $A_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте линию пересечения плоскостей $BDD_1$ и $CC_1M$.

Для построения линии пересечения двух плоскостей, $(BDD_1)$ и $(CC_1M)$, необходимо найти две общие точки этих плоскостей, либо одну общую точку и направление линии пересечения. Воспользуемся вторым подходом.

1. Найдем одну общую точку для плоскостей $(BDD_1)$ и $(CC_1M)$. Для этого рассмотрим плоскость верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$.

• Плоскость $(BDD_1)$ пересекает плоскость верхней грани по прямой $B_1D_1$, так как точки $B_1$ и $D_1$ принадлежат обеим плоскостям.
• Плоскость $(CC_1M)$ пересекает плоскость верхней грани по прямой $C_1M$, так как точки $C_1$ и $M$ (по условию $M \in A_1D_1$, а ребро $A_1D_1$ лежит в плоскости верхней грани) принадлежат обеим плоскостям.

Прямые $B_1D_1$ и $C_1M$ обе лежат в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ и не параллельны (в общем случае). Следовательно, они пересекаются. Построим эти прямые и отметим точку их пересечения $K$.$$ K = B_1D_1 \cap C_1M $$Поскольку точка $K$ принадлежит прямой $B_1D_1$, то $K \in (BDD_1)$. Поскольку точка $K$ принадлежит прямой $C_1M$, то $K \in (CC_1M)$. Таким образом, точка $K$ является общей точкой двух плоскостей и, следовательно, лежит на их линии пересечения.

2. Определим направление линии пересечения.

• Плоскость $(CC_1M)$ содержит боковое ребро $CC_1$.
• Плоскость $(BDD_1)$ содержит боковое ребро $DD_1$.
• В кубе все боковые ребра параллельны, значит $CC_1 \parallel DD_1$.

Рассмотрим прямую $CC_1$ и плоскость $(BDD_1)$. Так как прямая $CC_1$ параллельна прямой $DD_1$, а прямая $DD_1$ лежит в плоскости $(BDD_1)$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $CC_1$ параллельна плоскости $(BDD_1)$.

Согласно теореме, если плоскость (в нашем случае $(CC_1M)$) проходит через прямую ($CC_1$), параллельную другой плоскости ($(BDD_1)$), и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения параллельна данной прямой.

Следовательно, линия пересечения плоскостей $(BDD_1)$ и $(CC_1M)$ параллельна ребру $CC_1$.

3. Теперь мы можем построить искомую линию. Это прямая, которая проходит через найденную точку $K$ и параллельна ребру $CC_1$.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $K$, являющуюся пересечением прямых $B_1D_1$ и $C_1M$, и параллельная ребру $CC_1$.