Номер 6.27, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.27. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершину $B_1$ параллельно плоскости $A_1C_1D$. Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно $a$.

Построение сечения
Пусть искомая плоскость сечения называется $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через вершину $B_1$ и параллельна плоскости $(A_1C_1D)$.
Для построения сечения воспользуемся свойством параллельности плоскостей: если плоскость проходит через заданную точку и содержит две пересекающиеся прямые, которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в заданной плоскости, то эти плоскости параллельны.
Найдем две такие прямые, проходящие через точку $B_1$ и параллельные прямым в плоскости $(A_1C_1D)$.
1. Прямая $A_1D$ лежит в плоскости $(A_1C_1D)$. Рассмотрим диагональ грани $B_1C$. Вектор $\vec{B_1C}$ равен вектору $\vec{A_1D}$, так как $\vec{B_1C} = \vec{BC} - \vec{BB_1}$ и $\vec{A_1D} = \vec{AD} - \vec{AA_1}$, а в кубе $\vec{BC} = \vec{AD}$ и $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$. Следовательно, прямая $B_1C$ параллельна прямой $A_1D$. Так как искомая плоскость $\alpha$ проходит через точку $B_1$, она содержит прямую $B_1C$.
2. Прямая $C_1D$ лежит в плоскости $(A_1C_1D)$. Аналогично, рассмотрим диагональ грани $AB_1$. Вектор $\vec{AB_1}$ равен вектору $\vec{DC_1}$, следовательно прямая $AB_1$ параллельна прямой $DC_1$. (Точнее, $\vec{B_1A} = \vec{C_1D}$). Так как плоскость $\alpha$ проходит через $B_1$, она содержит и прямую $AB_1$.
Плоскость $\alpha$ содержит две пересекающиеся в точке $B_1$ прямые $AB_1$ и $CB_1$, которые параллельны двум пересекающимся в точке $D$ прямым $DC_1$ и $DA_1$ в плоскости $(A_1C_1D)$. Таким образом, плоскость $\alpha$ определена точками $A$, $C$ и $B_1$.
Искомое сечение — это треугольник $ACB_1$.
Ответ: Сечением является треугольник $ACB_1$, сторонами которого служат диагонали граней куба $AC$, $CB_1$ и $AB_1$.

Нахождение площади сечения
Сечением является треугольник $ACB_1$. Найдем длины его сторон. Ребро куба по условию равно $a$.
Стороны треугольника $AC$, $CB_1$ и $AB_1$ — это диагонали граней куба, которые являются квадратами со стороной $a$.
Длину диагонали квадрата найдем по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Таким образом, все стороны треугольника $ACB_1$ имеют одинаковую длину:
$|AC| = |CB_1| = |AB_1| = a\sqrt{2}$.
Следовательно, треугольник $ACB_1$ является равносторонним.
Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.
Подставим в эту формулу длину стороны нашего треугольника $s = a\sqrt{2}$:
$S = \frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.