Номер 6.34, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.34. Точка $K$ принадлежит грани $DME$ пирамиды $MABCDE$ (рис. 6.27).

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $K$ параллельно плоскости $CMD$.

Рис. 6.27

Пусть искомая плоскость сечения называется $\alpha$. По условию задачи, плоскость $\alpha$ проходит через точку $K$ и параллельна плоскости $(CMD)$.

Для построения сечения мы будем использовать свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

Построение

1. Точка $K$ по условию лежит в грани $(DME)$. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает грань $(DME)$. Так как $\alpha \parallel (CMD)$, то их линии пересечения с плоскостью $(DME)$ должны быть параллельны. Плоскость $(CMD)$ пересекает плоскость $(DME)$ по прямой $DM$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $(DME)$ — это прямая, проходящая через точку $K$ и параллельная ребру $DM$.
2. Проведем в плоскости грани $(DME)$ через точку $K$ прямую, параллельную $DM$. Пусть эта прямая пересекает ребра $ME$ и $DE$ в точках $P_1$ и $P_2$ соответственно. Отрезок $P_1P_2$ — это след секущей плоскости на грани $(DME)$. Таким образом, $P_1P_2 \parallel DM$.
3. Точка $P_2$ принадлежит ребру $DE$ и, следовательно, также грани $(CDE)$. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает грань $(CDE)$. Так как $\alpha \parallel (CMD)$, то их линии пересечения с плоскостью $(CDE)$ должны быть параллельны. Плоскость $(CMD)$ пересекает плоскость $(CDE)$ по прямой $CD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $(CDE)$ — это прямая, проходящая через точку $P_2$ и параллельная ребру $CD$.
4. Проведем в плоскости грани $(CDE)$ через точку $P_2$ прямую, параллельную $CD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $CE$ в точке $P_3$. Отрезок $P_2P_3$ — это след секущей плоскости на грани $(CDE)$. Таким образом, $P_2P_3 \parallel CD$.
5. Точки $P_1$ и $P_3$ принадлежат секущей плоскости $\alpha$. Точка $P_1$ лежит на ребре $ME$, а точка $P_3$ — на ребре $CE$. Оба этих ребра принадлежат грани $(MCE)$. Следовательно, отрезок $P_1P_3$ является следом секущей плоскости на грани $(MCE)$. Соединим точки $P_1$ и $P_3$.
6. В результате мы получили треугольник $P_1P_2P_3$, который является искомым сечением.

Обоснование

Мы построили треугольник $P_1P_2P_3$ и должны доказать, что его плоскость параллельна плоскости $(CMD)$ и проходит через точку $K$.

По построению мы имеем:

• $P_1P_2 \parallel DM$, где $DM \subset (CMD)$.
• $P_2P_3 \parallel CD$, где $CD \subset (CMD)$.

Прямые $P_1P_2$ и $P_2P_3$ пересекаются в точке $P_2$. Прямые $DM$ и $CD$ пересекаются в точке $D$.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. В нашем случае, прямые $P_1P_2$ и $P_2P_3$ в плоскости $(P_1P_2P_3)$ параллельны соответственно прямым $DM$ и $CD$ в плоскости $(CMD)$. Следовательно, плоскость $(P_1P_2P_3) \parallel (CMD)$.

Поскольку прямая $P_1P_2$ была построена через точку $K$, то и вся плоскость $(P_1P_2P_3)$ проходит через точку $K$. Таким образом, треугольник $P_1P_2P_3$ является искомым сечением.

Можно также убедиться, что третья сторона сечения $P_1P_3$ параллельна третьей стороне треугольника $CMD$, то есть ребру $MC$. Из того, что $P_1P_2 \parallel DM$ в $\triangle MDE$, по теореме о пропорциональных отрезках имеем: $\frac{EP_1}{EM} = \frac{EP_2}{ED}$. Аналогично, из того, что $P_2P_3 \parallel CD$ в $\triangle CDE$, имеем: $\frac{EP_3}{EC} = \frac{EP_2}{ED}$. Отсюда следует, что $\frac{EP_1}{EM} = \frac{EP_3}{EC}$. По обратной теореме о пропорциональных отрезках для $\triangle MCE$ это означает, что $P_1P_3 \parallel MC$. Это подтверждает правильность построения.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $P_1P_2P_3$, где $P_1 \in ME$, $P_2 \in DE$, $P_3 \in CE$. Сечение строится так: через точку $K$ в плоскости $(DME)$ проводится прямая $P_1P_2$ параллельно $DM$; затем через точку $P_2$ в плоскости $(CDE)$ проводится прямая $P_2P_3$ параллельно $CD$; полученные точки $P_1$ и $P_3$ соединяются.