Номер 6.41, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.41. Точка $M$ — середина ребра $C_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую $AC_1$ и параллельной прямой $CM$.

Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$.

Построение и доказательство

1. Анализ условия. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через прямую $AC_1$, значит, точки $A$ и $C_1$ принадлежат плоскости $\alpha$. Также плоскость $\alpha$ параллельна прямой $CM$.

2. Использование метода следов. Для построения сечения найдем след (линию пересечения) плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $ABCD$. Мы уже знаем одну точку, принадлежащую этому следу — точку $A$. Чтобы построить прямую, нам нужна вторая точка.

3. Построение вспомогательной точки. Согласно свойству параллельности прямой и плоскости, если плоскость $\alpha$ параллельна прямой $CM$, то в плоскости $\alpha$ существует прямая, параллельная $CM$. Проведем через точку $C_1$ (которая принадлежит плоскости $\alpha$) прямую $l$, параллельную $CM$. Прямая $l$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Найдем точку пересечения прямой $l$ с плоскостью основания $ABCD$. Обозначим эту точку $S$. Точка $S$ будет принадлежать и плоскости $\alpha$, и плоскости $ABCD$, а значит, будет лежать на следе плоскости $\alpha$.

Для нахождения точки $S$ рассмотрим векторы. Пусть ребро куба равно $a$. Введем систему координат с началом в точке $D$, ось $Dx$ направим вдоль $DA$, ось $Dy$ — вдоль $DC$, ось $Dz$ — вдоль $DD_1$. Тогда координаты точек: $D(0, 0, 0)$, $C(0, a, 0)$, $C_1(0, a, a)$, $D_1(0, 0, a)$. Точка $M$ — середина ребра $C_1D_1$, ее координаты: $M(0, a/2, a)$. Вектор $\vec{CM}$ имеет координаты: $\vec{CM} = (0 - 0, a/2 - a, a - 0) = (0, -a/2, a)$.

Прямая $l$ проходит через $C_1(0, a, a)$ и параллельна $\vec{CM}$. Ее параметрическое уравнение: $x(t) = 0 + 0 \cdot t = 0$ $y(t) = a - a/2 \cdot t$ $z(t) = a + a \cdot t$

Прямая $l$ пересекает плоскость $ABCD$ при $z=0$. $a + a \cdot t = 0 \Rightarrow t = -1$. Найдем координаты точки $S$, подставив $t=-1$: $x_S = 0$ $y_S = a - a/2 \cdot (-1) = 3a/2$ $z_S = 0$ Итак, $S(0, 3a/2, 0)$. Эта точка лежит на продолжении ребра $DC$ за точку $C$, причем $CS = a/2$.

4. Построение следов сечения на гранях куба.

a) Мы нашли две точки следа на плоскости $ABCD$: $A$ и $S$. Проводим прямую $AS$. Эта прямая пересекает ребро $BC$ в некоторой точке $K$. Точки $A$ и $K$ — вершины сечения. Отрезок $AK$ — след сечения на грани $ABCD$.

b) Точки $K$ и $C_1$ лежат в плоскости сечения и в плоскости грани $BCC_1B_1$. Соединяем их отрезком $KC_1$. Это след сечения на грани $BCC_1B_1$.

c) Плоскости граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает их по параллельным прямым. Проведем в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ через точку $C_1$ прямую, параллельную $AK$. Эта прямая пересечет ребро $A_1D_1$ в некоторой точке $P$. Отрезок $C_1P$ — след сечения на верхней грани.

d) Точки $P$ и $A$ лежат в плоскости сечения и в плоскости грани $ADD_1A_1$. Соединяем их отрезком $PA$. Это след сечения на грани $ADD_1A_1$.

5. Итоговое сечение. Мы получили замкнутый многоугольник $AKC_1P$. Это и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $AKC_1P$, где точка $K$ лежит на ребре $BC$, а точка $P$ — на ребре $A_1D_1$. Построение описано выше.