Номер 6.32, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.32. Точка $E$ лежит на ребре $BC$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $F$ принадлежит грани $BB_1C_1C$ (рис. 6.25). Постройте линию пересечения плоскости $ABB_1$ и плоскости, проходящей через точку $F$ параллельно плоскости $EDD_1$.

Рис. 6.25

Обозначим искомую плоскость, проходящую через точку $F$ параллельно плоскости $(EDD_1)$, как $\alpha$. Таким образом, по условию, $\alpha \parallel (EDD_1)$. Плоскость грани $ABB_1A_1$ обозначим как $\beta$. Нам необходимо построить линию пересечения $l = \alpha \cap \beta$.

Согласно свойству параллельных плоскостей, если некоторая плоскость (в нашем случае $\beta$) пересекает две параллельные плоскости ($\alpha$ и $(EDD_1)$), то линии их пересечения параллельны. То есть, искомая линия $l$ будет параллельна линии пересечения плоскостей $(EDD_1)$ и $\beta = (ABB_1)$. Обозначим эту линию пересечения как $k$, где $k = (EDD_1) \cap (ABB_1)$.

Таким образом, для построения искомой прямой $l$ нам нужно выполнить два шага:

1. Найти направление прямой $l$.
2. Найти одну точку, принадлежащую прямой $l$.

1. Определение направления искомой линии пересечения.

Направление линии $l$ совпадает с направлением линии $k = (EDD_1) \cap (ABB_1)$. Рассмотрим плоскости $(EDD_1)$ и $(ABB_1)$:

• Плоскость $(EDD_1)$ содержит боковое ребро призмы $DD_1$.
• Плоскость $(ABB_1)$ содержит боковое ребро призмы $AA_1$.

По определению призмы, все ее боковые ребра параллельны, следовательно, $DD_1 \parallel AA_1$. Существует теорема: если две пересекающиеся плоскости содержат две параллельные прямые, то линия их пересечения параллельна этим прямым. Применяя эту теорему к плоскостям $(EDD_1)$ и $(ABB_1)$ и параллельным прямым $DD_1$ и $AA_1$, получаем, что линия их пересечения $k$ параллельна этим ребрам: $k \parallel DD_1 \parallel AA_1$. Так как $l \parallel k$, то искомая линия $l$ также параллельна боковым ребрам призмы: $l \parallel AA_1$.

2. Нахождение точки на искомой линии пересечения.

Для нахождения точки, принадлежащей линии $l$, необходимо найти любую общую точку плоскостей $\alpha$ и $\beta=(ABB_1)$. Воспользуемся методом вспомогательных плоскостей.

а) Проведем через точку $F$ вспомогательную секущую плоскость $\gamma$, параллельную плоскости основания $ABC$. Так как точка $F$ лежит на грани $BB_1C_1C$, эта плоскость пересечет ребра $BB_1$ и $CC_1$ в некоторых точках $B'$ и $C'$ соответственно. Точка $F$ будет лежать на отрезке $B'C'$. Также плоскость $\gamma$ пересечет ребро $AA_1$ в точке $A'$.

б) Найдем линию пересечения $m$ плоскости $\alpha$ и вспомогательной плоскости $\gamma$. По свойству параллельных плоскостей, $m = \alpha \cap \gamma$ будет параллельна линии пересечения $(EDD_1) \cap (ABC)$. Линией пересечения $(EDD_1)$ и $(ABC)$ является прямая $ED$. Следовательно, $m \parallel ED$. Так как $F \in \alpha$ и $F \in \gamma$, то точка $F$ лежит на прямой $m$. Таким образом, $m$ — это прямая, проходящая в плоскости $\gamma$ через точку $F$ параллельно прямой $ED$.

в) Теперь найдем общую точку для $m$ и плоскости $\beta=(ABB_1)$. Прямая $m$ лежит во вспомогательной плоскости $\gamma$. Плоскость $\beta=(ABB_1)$ пересекает вспомогательную плоскость $\gamma$ по прямой $A'B'$. Следовательно, точка пересечения прямой $m$ с плоскостью $\beta$ будет точкой пересечения прямых $m$ и $A'B'$ в плоскости $\gamma$. Обозначим эту точку как $Q$.

г) Точка $Q$ является искомой точкой, принадлежащей линии $l$. Действительно:

• По построению $Q \in m$, а так как $m \subset \alpha$, то $Q \in \alpha$.
• По построению $Q \in A'B'$, а так как $A'B' \subset (ABB_1) = \beta$, то $Q \in \beta$.

Поскольку $Q$ принадлежит обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$, она лежит на линии их пересечения $l$.

3. Построение искомой линии.

Мы нашли точку $Q$, принадлежащую искомой линии $l$, и определили ее направление ($l \parallel AA_1$). Следовательно, искомая линия пересечения $l$ — это прямая, проходящая через точку $Q$ параллельно боковому ребру $AA_1$.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через построенную точку $Q$ параллельно боковым ребрам призмы. Алгоритм построения:

1. Через точку $F$ провести плоскость $\gamma$, параллельную основанию $ABC$. Найти точки $A'$ и $B'$ как пересечения этой плоскости с ребрами $AA_1$ и $BB_1$ соответственно.
2. В плоскости $\gamma$ через точку $F$ провести прямую $m$ параллельно прямой $ED$.
3. Найти точку $Q$ как пересечение прямой $m$ и прямой $A'B'$.
4. Провести через точку $Q$ прямую, параллельную ребру $AA_1$. Эта прямая и является искомой линией пересечения.