Номер 6.24, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.24. Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\gamma$ ($\alpha$ и $\gamma$ — разные плоскости). Докажите, что плоскости $\alpha$ и $\gamma$ параллельны.

Это свойство транзитивности параллельности плоскостей. Для его доказательства воспользуемся методом от противного.

Дано:
Плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \beta $ ($ \alpha \parallel \beta $).
Плоскость $ \beta $ параллельна плоскости $ \gamma $ ($ \beta \parallel \gamma $).
Плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ различны ($ \alpha \neq \gamma $).

Доказать:
Плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \gamma $ ($ \alpha \parallel \gamma $).

Доказательство:
Предположим, что плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ не параллельны. По определению, если две плоскости не параллельны, они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $ c $. Таким образом, $ \alpha \cap \gamma = c $.

Выберем на прямой $ c $ произвольную точку $ M $. Поскольку точка $ M $ лежит на прямой $ c $, она принадлежит обеим плоскостям: $ M \in \alpha $ и $ M \in \gamma $.

Из условия известно, что $ \alpha \parallel \beta $. Это означает, что плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ не имеют общих точек. Следовательно, точка $ M $, принадлежащая плоскости $ \alpha $, не может принадлежать плоскости $ \beta $, то есть $ M \notin \beta $.

Таким образом, мы получили, что через точку $ M $, не лежащую в плоскости $ \beta $, проходят две различные (по условию) плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $, каждая из которых параллельна плоскости $ \beta $.

Это противоречит теореме о единственности плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости: через точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ пересекаются, было неверным.

Следовательно, плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ не пересекаются. Так как по условию они еще и не совпадают, то по определению они параллельны: $ \alpha \parallel \gamma $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \beta $, а плоскость $ \beta $ в свою очередь параллельна плоскости $ \gamma $, то плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \gamma $.