Номер 6.9, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.9. Треугольник $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$. Через его вершины проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$, в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ необходимо показать, что их соответствующие стороны равны, то есть $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$. После этого можно будет применить признак равенства треугольников по трем сторонам.

1. Рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. По условию, прямые, проходящие через вершины треугольников, параллельны, следовательно $AA_1 \parallel BB_1$. Две параллельные прямые однозначно задают плоскость, поэтому точки $A, B, B_1, A_1$ лежат в одной плоскости. Прямая $AB$ является линией пересечения этой плоскости с плоскостью $\alpha$, а прямая $A_1B_1$ — линией пересечения с плоскостью $\beta$. Поскольку по условию плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), то и линии их пересечения с третьей плоскостью также параллельны, то есть $AB \parallel A_1B_1$. В четырехугольнике $ABB_1A_1$ противоположные стороны попарно параллельны ($AA_1 \parallel BB_1$ и $AB \parallel A_1B_1$), следовательно, $ABB_1A_1$ — это параллелограмм. По свойству параллелограмма его противоположные стороны равны, значит $AB = A_1B_1$.

2. Аналогично рассмотрим четырехугольник $BCC_1B_1$. По условию $BB_1 \parallel CC_1$, значит точки $B, C, C_1, B_1$ лежат в одной плоскости. Прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $B_1C_1$ — в плоскости $\beta$. Так как $\alpha \parallel \beta$, то $BC \parallel B_1C_1$. В четырехугольнике $BCC_1B_1$ противоположные стороны попарно параллельны ($BB_1 \parallel CC_1$ и $BC \parallel B_1C_1$), значит, он является параллелограммом. Отсюда следует, что $BC = B_1C_1$.

3. Таким же образом рассмотрим четырехугольник $ACC_1A_1$. По условию $AA_1 \parallel CC_1$, следовательно, точки $A, C, C_1, A_1$ лежат в одной плоскости. Прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $A_1C_1$ — в плоскости $\beta$. Так как $\alpha \parallel \beta$, то $AC \parallel A_1C_1$. В четырехугольнике $ACC_1A_1$ противоположные стороны попарно параллельны ($AA_1 \parallel CC_1$ и $AC \parallel A_1C_1$), следовательно, он является параллелограммом. Отсюда $AC = A_1C_1$.

Таким образом, мы доказали, что соответствующие стороны треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны:

$AB = A_1B_1$

$BC = B_1C_1$

$AC = A_1C_1$

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.