Номер 6.11, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.11. Даны параллельные плоскости $ \alpha $ и $ \beta $. Точки M и N лежат в плоскости $ \alpha $, точки K и P — в плоскости $ \beta $ (рис. 6.15). Постройте линию пересечения:

1) плоскости $ \alpha $ и плоскости MKP;

2) плоскости $ \beta $ и плоскости MNK.

Рис. 6.15

1) плоскости α и плоскости MKP;
По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Плоскость $MKP$ пересекает обе эти плоскости.

Найдем линию пересечения плоскости $MKP$ с плоскостью $\beta$. Точки $K$ и $P$ по условию лежат в плоскости $\beta$. По определению плоскости $MKP$, точки $K$ и $P$ также лежат в ней. Следовательно, прямая $KP$ является линией пересечения плоскостей $MKP$ и $\beta$.

Согласно свойству параллельных плоскостей, если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. В нашем случае плоскость $MKP$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по параллельным прямым.

Значит, линия пересечения плоскости $MKP$ и плоскости $\alpha$ должна быть параллельна прямой $KP$.

Точка $M$ по условию лежит в плоскости $\alpha$ и по построению в плоскости $MKP$. Следовательно, точка $M$ принадлежит искомой линии пересечения.

Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $KP$.
Ответ: Прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $KP$.

2) плоскости β и плоскости MNK.
По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Плоскость $MNK$ пересекает обе эти плоскости.

Найдем линию пересечения плоскости $MNK$ с плоскостью $\alpha$. Точки $M$ и $N$ по условию лежат в плоскости $\alpha$. По определению плоскости $MNK$, точки $M$ и $N$ также лежат в ней. Следовательно, прямая $MN$ является линией пересечения плоскостей $MNK$ и $\alpha$.

Используя то же свойство параллельных плоскостей, линия пересечения плоскости $MNK$ с плоскостью $\beta$ должна быть параллельна прямой $MN$.

Точка $K$ по условию лежит в плоскости $\beta$ и по построению в плоскости $MNK$. Следовательно, точка $K$ принадлежит искомой линии пересечения.

Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $K$ параллельно прямой $MN$.
Ответ: Прямая, проходящая через точку $K$ параллельно прямой $MN$.