Номер 6.1, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.1. Верно ли утверждение:

1) если две плоскости параллельны, то любая прямая одной плоскости параллельна любой прямой другой плоскости;

2) если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой другой плоскости, то данные плоскости параллельны;

3) если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны соответственно двум прямым, лежащим в другой плоскости, то данные плоскости параллельны?

1) если две плоскости параллельны, то любая прямая одной плоскости параллельна любой прямой другой плоскости;

Утверждение неверно. Две прямые, лежащие в параллельных плоскостях, могут быть не только параллельными, но и скрещивающимися.

Рассмотрим контрпример. Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. В плоскости $\alpha$ проведем прямую $a$. В плоскости $\beta$ проведем прямую $b$. Если прямые $a$ и $b$ не имеют параллельных проекций друг на друга, они будут скрещивающимися. Например, в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскость основания $(ABC)$ параллельна плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости $(A_1B_1C_1)$. Прямые $AB$ и $B_1C_1$ не параллельны, они являются скрещивающимися. Следовательно, утверждение "любая прямая ... параллельна любой прямой" является ложным.

Ответ: неверно.

2) если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой другой плоскости, то данные плоскости параллельны;

Утверждение неверно. Плоскости могут пересекаться.

Рассмотрим контрпример. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. В плоскости $\alpha$ проведем прямую $a$, параллельную прямой $c$. Прямая $b$ из плоскости $\beta$ может быть самой прямой пересечения $c$. Таким образом, у нас есть прямая $a$ в плоскости $\alpha$, которая параллельна прямой $c$ в плоскости $\beta$, но при этом плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются. Значит, исходное утверждение неверно.

Ответ: неверно.

3) если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны соответственно двум прямым, лежащим в другой плоскости, то данные плоскости параллельны?

Утверждение неверно в общем виде. Оно справедливо только в случае, если пары прямых в каждой из плоскостей пересекаются. Это один из признаков параллельности плоскостей. Однако, если прямые в каждой из плоскостей параллельны между собой, то плоскости могут и пересекаться.

Приведем контрпример. Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Возьмем две пересекающиеся плоскости: плоскость основания $\alpha = (ABC)$ и плоскость боковой грани $\beta = (CDD_1)$. Они пересекаются по прямой $CD$.

• В плоскости $\alpha$ выберем две параллельные прямые: $a_1 = AB$ и $a_2 = CD$.
• В плоскости $\beta$ выберем две параллельные прямые: $b_1 = C_1D_1$ и $b_2 = CD$.

• Прямая $a_1 = AB$ параллельна прямой $b_1 = C_1D_1$ (так как обе параллельны $CD$).
• Прямая $a_2 = CD$ параллельна прямой $b_2 = CD$ (они совпадают).

Таким образом, две прямые ($AB$ и $CD$) в плоскости $\alpha$ соответственно параллельны двум прямым ($C_1D_1$ и $CD$) в плоскости $\beta$. Однако плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны, а пересекаются по прямой $CD$. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.