Номер 5.47, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.47. Точки $M$, $N$ и $K$ принадлежат соответственно граням $AA_1B_1B$, $BB_1C_1C$ и $CC_1D_1D$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.30). Постройте сечение куба плоскостью $MNK$.

Рис. 5.30

Для построения сечения куба плоскостью $MNK$ воспользуемся методом следов. Суть метода состоит в нахождении линии пересечения (следа) секущей плоскости $(MNK)$ с плоскостью основания куба, а затем, используя этот след, в последовательном построении сторон сечения на гранях куба.

Построение выполняется в следующем порядке:

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания $(ABCD)$.

   След – это прямая, для построения которой достаточно найти две точки, принадлежащие одновременно и секущей плоскости $(MNK)$, и плоскости основания $(ABCD)$.

   • Найдем точку $P_1$ — точку пересечения прямой $NK$ с плоскостью $(ABCD)$. Для этого спроецируем точки $N$ и $K$ на плоскость основания. Проекция точки $N \in (BB_1C_1C)$ есть точка $N'$ на ребре $BC$. Проекция точки $K \in (CC_1D_1D)$ есть точка $K'$ на ребре $CD$. Прямые $NK$ и $N'K'$ лежат в одной вспомогательной плоскости, поэтому они пересекаются. Точка их пересечения $P_1 = NK \cap N'K'$. Поскольку $P_1 \in NK$, то $P_1 \in (MNK)$. Поскольку $P_1 \in N'K'$, то $P_1 \in (ABCD)$. Таким образом, $P_1$ – первая точка следа.

   • Аналогично найдем точку $P_2$ — точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(ABCD)$. Спроектируем точки $M \in (AA_1B_1B)$ и $N \in (BB_1C_1C)$ на плоскость основания. Получим точки $M'$ на ребре $AB$ и $N'$ на ребре $BC$. Прямые $MN$ и $M'N'$ пересекаются в точке $P_2 = MN \cap M'N'$. Эта точка является второй точкой следа.

   • Проведем прямую $l$ через точки $P_1$ и $P_2$. Прямая $l$ – это след секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания куба.

2. Построение сторон сечения на гранях куба.

   Вершины искомого сечения являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами куба. Мы найдем их, строя следы плоскости $(MNK)$ на боковых гранях.

   • Найдем точку пересечения следа $l$ с прямой, содержащей ребро $AB$. Обозначим эту точку $T_1$. Точка $T_1$ и точка $M$ лежат в плоскости грани $AA_1B_1B$. Проведем через них прямую $MT_1$, которая является следом плоскости $(MNK)$ на грани $AA_1B_1B$. Эта прямая пересечет ребра грани в двух точках, которые будут вершинами сечения. Например, пусть $Q_1 = MT_1 \cap AA_1$ и $Q_2 = MT_1 \cap BB_1$. Тогда отрезок $Q_1Q_2$ – одна из сторон сечения.

   • Вершина $Q_2$ лежит на ребре $BB_1$ и, следовательно, принадлежит грани $BB_1C_1C$. Точка $N$ также лежит на этой грани. Проведем прямую $NQ_2$, которая является следом секущей плоскости на грани $BB_1C_1C$. Пусть эта прямая пересекает ребро $CC_1$ в точке $Q_3$. Отрезок $Q_2Q_3$ – вторая сторона сечения.

   • Вершина $Q_3$ лежит на ребре $CC_1$ и, следовательно, принадлежит грани $CC_1D_1D$. Точка $K$ также лежит на этой грани. Проведем прямую $KQ_3$ – след секущей плоскости на грани $CC_1D_1D$. Пусть эта прямая пересекает ребро $DD_1$ в точке $Q_4$. Отрезок $Q_3Q_4$ – третья сторона сечения.

   • Соединим вершины $Q_4$ и $Q_1$. Обе точки лежат в плоскости грани $AA_1D_1D$. Отрезок $Q_4Q_1$ – четвертая, замыкающая сторона сечения. Для проверки правильности построения можно убедиться, что отрезки сечения на параллельных гранях параллельны: $Q_1Q_2 \parallel Q_4Q_3$ (на самом деле нет, это неверно для общего случая, но $Q_1Q_4 \parallel Q_2Q_3$, так как грани $(AA_1D_1D)$ и $(BB_1C_1C)$ параллельны).

В результате выполненных построений получается многоугольник (в данном примере – четырехугольник $Q_1Q_2Q_3Q_4$), который является искомым сечением куба плоскостью $MNK$. В зависимости от расположения точек $M, N, K$ форма сечения может быть иной (треугольник, пятиугольник или шестиугольник), но описанный метод построения остается универсальным.

Ответ: Искомое сечение представляет собой многоугольник, вершины которого лежат на ребрах куба. Построение сечения выполняется методом следов, как описано выше: сначала строится след секущей плоскости на плоскости основания, а затем последовательно находятся линии пересечения секущей плоскости с гранями куба и определяются вершины многоугольника сечения.