Страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.26. Прямая $a$ принадлежит плоскости $\alpha$, прямая $b$ — плоскости $\beta$, прямая $c$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Докажите, что если прямая $c$ не пересекает ни одну из прямых $a$ и $b$, то $a \parallel b$.

Докажем данное утверждение по шагам.

1. Рассмотрим взаимное расположение прямых $a$ и $c$.По условию, прямая $a$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$). Прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ ($c = \alpha \cap \beta$), что по определению означает, что прямая $c$ принадлежит обеим плоскостям, в том числе и плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).Следовательно, прямые $a$ и $c$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

По условию, прямая $c$ не пересекает прямую $a$. В евклидовой геометрии две различные прямые, лежащие в одной плоскости, либо пересекаются в одной точке, либо параллельны. Так как прямые $a$ и $c$ не пересекаются, они должны быть параллельны: $a \parallel c$.

2. Аналогично рассмотрим взаимное расположение прямых $b$ и $c$.По условию, прямая $b$ принадлежит плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$). Прямая $c$ как линия пересечения плоскостей принадлежит и плоскости $\beta$ ($c \subset \beta$).Следовательно, прямые $b$ и $c$ лежат в одной плоскости $\beta$.

По условию, прямая $c$ не пересекает прямую $b$. Так как обе прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, они параллельны: $b \parallel c$.

3. Из первых двух пунктов мы получили, что $a \parallel c$ и $b \parallel c$.Согласно теореме о трех параллельных прямых (свойство транзитивности параллельности), если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.Таким образом, из $a \parallel c$ и $b \parallel c$ следует, что $a \parallel b$.

Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что $a \parallel b$.

5.27. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Через точку $M$, лежащую в плоскости $\alpha$, проведена прямая $b$, параллельная прямой $a$. Докажите, что прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.

Дано:
Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).
Точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).
Через точку $M$ проведена прямая $b$, параллельная прямой $a$ ($M \in b$, $b \parallel a$).

Доказать:
Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$.

Так как точка $M$ принадлежит и прямой $b$, и плоскости $\alpha$ ($M \in b$ и $M \in \alpha$), то из нашего предположения следует, что прямая $b$ лишь пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $M$.

Поскольку прямая $a \parallel \alpha$ и точка $M \in \alpha$, то точка $M$ не лежит на прямой $a$ ($M \notin a$). Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведём через прямую $a$ и точку $M$ плоскость $\beta$. Таким образом, $a \subset \beta$ и $M \in \beta$.

Плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает плоскость $\alpha$, так как у них есть общая точка $M$. По следствию из аксиом, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую $c$. Итак, $c = \alpha \cap \beta$.

Согласно теореме (иногда называемой леммой о параллельных прямых), если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($a$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения ($c$) параллельна данной прямой ($a$). Следовательно, $c \parallel a$. Так как точка $M$ лежит в обеих плоскостях ($\alpha$ и $\beta$), она принадлежит и линии их пересечения: $M \in c$.

По условию задачи, через точку $M$ проходит прямая $b$, которая также параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).

В итоге мы получили, что через точку $M$ проходят две прямые, $b$ и $c$, и обе они параллельны прямой $a$. Согласно аксиоме о параллельных прямых (V постулат Евклида), через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Из этого следует, что прямые $b$ и $c$ должны совпадать, то есть $b = c$.

Но прямая $c$, как линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, по определению целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). Поскольку $b = c$, то и прямая $b$ должна целиком лежать в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Это утверждение противоречит нашему первоначальному предположению о том, что прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, это предположение было неверным.

Таким образом, истинным является утверждение, что прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

5.28. Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство данного утверждения состоит из двух частей: доказательства существования такой плоскости и доказательства ее единственности.

Доказательство существования

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Через точку $M$ проведём прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственна.

Прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $M$ и, следовательно, задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. По построению, плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$ ($a \subset \alpha$).

Теперь докажем, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $b$. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$. Если предположить обратное ($b \subset \alpha$), то прямые $a$ и $b$ будут лежать в одной плоскости $\alpha$, что противоречит условию о том, что они скрещивающиеся.

При этом в плоскости $\alpha$ лежит прямая $b'$, которая по построению параллельна прямой $b$.

Так как $b \not\subset \alpha$ и $b \parallel b'$, где $b' \subset \alpha$, то по признаку параллельности прямой и плоскости $b \parallel \alpha$.

Таким образом, существование плоскости, проходящей через прямую $a$ и параллельной прямой $b$, доказано.

Доказательство единственности

Предположим, что существует другая плоскость $\beta$ ($\beta \neq \alpha$), которая также проходит через прямую $a$ ($a \subset \beta$) и параллельна прямой $b$ ($b \parallel \beta$).

Так как $a \subset \beta$, любая точка прямой $a$ принадлежит и плоскости $\beta$. В частности, точка $M$, которую мы выбрали для построения, лежит в плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).

Поскольку $b \parallel \beta$, то через точку $M$, лежащую в плоскости $\beta$, можно провести прямую, параллельную $b$, и эта прямая будет целиком лежать в плоскости $\beta$. Но через точку $M$ в пространстве проходит только одна прямая, параллельная $b$, — это прямая $b'$. Следовательно, прямая $b'$ должна лежать в плоскости $\beta$ ($b' \subset \beta$).

Получается, что плоскость $\beta$ проходит через две пересекающиеся прямые $a$ и $b'$. Однако через две пересекающиеся прямые проходит только одна плоскость. По построению, это и есть плоскость $\alpha$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ должны совпадать ($\alpha = \beta$).

Это противоречит нашему первоначальному предположению, что $\beta \neq \alpha$. Следовательно, предположение неверно, и существует только одна плоскость, удовлетворяющая условиям задачи.

Ответ: Утверждение доказано.

5.29. Докажите, что если две данные пересекающиеся плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым, то линия пересечения данных плоскостей параллельна этой третьей плоскости.

Обозначим данные пересекающиеся плоскости как $\alpha$ и $\beta$, а третью плоскость — как $\gamma$.

Пусть линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ есть прямая $c$. То есть, $\alpha \cap \beta = c$.

По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекают плоскость $\gamma$ по параллельным прямым. Обозначим эти прямые как $a$ и $b$ соответственно.

Тогда:

• $\alpha \cap \gamma = a$
• $\beta \cap \gamma = b$
• $a \parallel b$

Необходимо доказать, что линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть прямая $c$, параллельна плоскости $\gamma$ ($c \parallel \gamma$).

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $c$ не параллельна плоскости $\gamma$.

Если прямая не параллельна плоскости, то она пересекает эту плоскость в единственной точке. Пусть прямая $c$ пересекает плоскость $\gamma$ в некоторой точке $M$.

Рассмотрим точку $M$:

1. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $c$, а прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ ($c = \alpha \cap \beta$), то точка $M$ принадлежит обеим этим плоскостям: $M \in \alpha$ и $M \in \beta$.
2. По нашему предположению, точка $M$ также принадлежит плоскости $\gamma$: $M \in \gamma$.
3. Из пунктов 1 и 2 следует, что точка $M$ является общей точкой для всех трех плоскостей: $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.
4. Так как точка $M$ принадлежит одновременно плоскостям $\alpha$ и $\gamma$, она должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $a$. Следовательно, $M \in a$.
5. Аналогично, так как точка $M$ принадлежит одновременно плоскостям $\beta$ и $\gamma$, она должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $b$. Следовательно, $M \in b$.

Таким образом, мы пришли к выводу, что точка $M$ является общей точкой для прямых $a$ и $b$. Это означает, что прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$.

Однако это противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Параллельные прямые по определению не имеют общих точек.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что прямая $c$ пересекает плоскость $\gamma$, было неверным. Следовательно, прямая $c$ не может пересекать плоскость $\gamma$.

Согласно определению параллельности прямой и плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек, то они параллельны. Значит, $c \parallel \gamma$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если две данные пересекающиеся плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым, то линия пересечения данных плоскостей параллельна этой третьей плоскости.

5.30. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины рёбер $AB$, $CD$ и $AA_1$. Найдите периметр сечения, если $AB = 10$ см, $AD = 17$ см, $AA_1 = 24$ см.

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины рёбер $AB$, $CD$ и $AA_1$

Обозначим середины рёбер $AB$, $CD$ и $AA_1$ как точки $K$, $L$ и $M$ соответственно. 1. Соединим точки $K$ и $L$, так как они обе лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$. Отрезок $KL$ — это след секущей плоскости на плоскости основания. 2. Соединим точки $K$ и $M$, так как они обе лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Отрезок $KM$ — это след секущей плоскости на плоскости передней грани. 3. Плоскость задней грани $DCC_1D_1$ параллельна плоскости передней грани $ABB_1A_1$. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Следовательно, через точку $L$ нужно провести прямую, параллельную $KM$. Эта прямая пересечёт ребро $DD_1$ в точке $N$, которая, по аналогии с точкой $M$, будет серединой ребра $DD_1$. 4. Соединим точки $L$ и $N$, а также $M$ и $N$. Отрезок $MN$ лежит в плоскости левой боковой грани $ADD_1A_1$. В результате получаем четырёхугольник $KLNM$, который и является искомым сечением. Так как по построению $KM \parallel LN$ и, кроме того, $KL \parallel MN$ (поскольку оба отрезка соединяют середины рёбер в параллельных гранях и параллельны ребру $AD$), то сечение $KLNM$ является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — параллелограмм $KLNM$, где $K, L, M, N$ являются серединами рёбер $AB, CD, AA_1$ и $DD_1$ соответственно.

Найдите периметр сечения, если $AB = 10$ см, $AD = 17$ см, $AA_1 = 24$ см

Периметр параллелограмма $KLNM$ вычисляется по формуле $P = 2(KL + KM)$. Найдём длины его смежных сторон $KL$ и $KM$. Длина стороны $KL$ равна длине ребра $AD$, так как отрезок $KL$ соединяет середины противоположных сторон $AB$ и $CD$ в прямоугольнике $ABCD$. $KL = AD = 17$ см. Длину стороны $KM$ найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $AKM$. Этот треугольник является прямоугольным, так как ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и ребру $AB$ ($\angle MAK = 90^\circ$). Катеты этого треугольника равны половинам длин соответствующих рёбер: $AK = \frac{1}{2}AB = \frac{10}{2} = 5$ см. $AM = \frac{1}{2}AA_1 = \frac{24}{2} = 12$ см. Найдём гипотенузу $KM$: $KM = \sqrt{AK^2 + AM^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см. Теперь вычислим периметр сечения: $P_{KLNM} = 2(KL + KM) = 2(17 + 13) = 2 \cdot 30 = 60$ см.

Ответ: 60 см.

5.31. На ребре $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $E$ так, что $BE : EC = 2 : 1$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $E$ параллельно прямым $AB$ и $CD$. Найдите периметр сечения, если $AB = 18$ см, $CD = 12$ см.

Построение сечения

Пусть $\alpha$ - плоскость сечения. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $E$ и параллельна прямым $AB$ и $CD$.

1. Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$, она пересекает плоскость грани $(ABC)$, содержащую прямую $AB$, по прямой, параллельной $AB$. Проведём в плоскости $(ABC)$ через точку $E$ прямую, параллельную $AB$. Эта прямая пересечёт ребро $AC$ в некоторой точке $F$. Таким образом, получили сторону сечения $EF$, причём $EF || AB$.

2. Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна прямой $CD$, она пересекает плоскость грани $(BCD)$, содержащую прямую $CD$, по прямой, параллельной $CD$. Проведём в плоскости $(BCD)$ через точку $E$ прямую, параллельную $CD$. Эта прямая пересечёт ребро $BD$ в некоторой точке $K$. Таким образом, получили сторону сечения $EK$, причём $EK || CD$.

3. Мы уже имеем три точки сечения $E$, $F$, $K$. Чтобы найти четвёртую, воспользуемся снова условием параллельности. Плоскость $\alpha$ параллельна $AB$, значит она пересекает плоскость грани $(ABD)$ по прямой, параллельной $AB$. Проведём в плоскости $(ABD)$ через точку $K$ прямую, параллельную $AB$. Эта прямая пересечёт ребро $AD$ в некоторой точке $M$. Получили сторону сечения $KM$, причём $KM || AB$.

4. Соединим точки $M$ и $F$. Четырёхугольник $EFKM$ - искомое сечение.

По построению $EF || AB$ и $KM || AB$, следовательно $EF || KM$. Также можно доказать, что $FM || CD$. Таким образом, сечение $EFKM$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Нахождение периметра сечения

Периметр параллелограмма $EFKM$ равен $P = 2(EF + EK)$. Найдём длины сторон $EF$ и $EK$.

1. Рассмотрим грань $(ABC)$. Так как $EF || AB$, то треугольник $\triangle CEF$ подобен треугольнику $\triangle CBA$. Из подобия следует соотношение:
$\frac{EF}{AB} = \frac{CE}{CB}$
По условию $BE : EC = 2 : 1$. Пусть $EC = x$, тогда $BE = 2x$, а вся сторона $BC = BE + EC = 2x + x = 3x$.
Следовательно, $\frac{CE}{CB} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$.
Тогда $EF = AB \cdot \frac{CE}{CB} = 18 \cdot \frac{1}{3} = 6$ см.

2. Рассмотрим грань $(BCD)$. Так как $EK || CD$, то треугольник $\triangle BEK$ подобен треугольнику $\triangle BCD$. Из подобия следует соотношение:
$\frac{EK}{CD} = \frac{BE}{BC}$
Из условия $\frac{BE}{BC} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$.
Тогда $EK = CD \cdot \frac{BE}{BC} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ см.

3. Теперь найдём периметр сечения, которое является параллелограммом $EFKM$:
$P_{EFKM} = 2(EF + EK) = 2(6 + 8) = 2 \cdot 14 = 28$ см.

Ответ: 28 см.

5.32. На рёбрах $AD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ (рис. 5.25). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $MK$ параллельно прямой $CD$.

Рис. 5.25

Построение:

Обозначим искомую плоскость сечения как $α$. По условию, прямая $MK$ лежит в этой плоскости ($MK ⊂ α$), и эта плоскость параллельна прямой $CD$ ($α || CD$).

1. Рассмотрим грань $ADC$. Эта грань содержит прямую $CD$ и точку $M$, которая принадлежит плоскости сечения $α$. Согласно свойству параллельных прямой и плоскости, если плоскость ($α$) проходит через точку ($M$), не лежащую на данной прямой ($CD$), и параллельна этой прямой, то линия пересечения плоскости $α$ с плоскостью грани $ADC$ должна быть параллельна прямой $CD$.

   Следовательно, в плоскости грани $ADC$ через точку $M$ проведем прямую, параллельную $CD$. Эта прямая пересечет ребро $AC$ в некоторой точке $P$. Отрезок $MP$ является линией пересечения плоскости сечения $α$ с гранью $ADC$. Таким образом, мы построили отрезок $MP$ так, что $MP || CD$.

2. Аналогично рассмотрим грань $BDC$. Эта грань содержит прямую $CD$ и точку $K$, которая также принадлежит плоскости сечения $α$. Линия пересечения плоскости $α$ с плоскостью грани $BDC$ должна проходить через точку $K$ и быть параллельной прямой $CD$.

   В плоскости грани $BDC$ через точку $K$ проведем прямую, параллельную $CD$. Эта прямая пересечет ребро $BD$ в некоторой точке $N$. Отрезок $NK$ является линией пересечения плоскости сечения $α$ с гранью $BDC$. Таким образом, мы построили отрезок $NK$ так, что $NK || CD$.

3. Мы получили четыре точки, лежащие в плоскости сечения $α$: $M$, $P$, $K$, $N$. Точка $M$ лежит на ребре $AD$, точка $P$ – на ребре $AC$, точка $K$ – на ребре $BC$, и точка $N$ – на ребре $BD$.

   Последовательно соединим эти точки отрезками: $MP$, $PK$, $KN$ и $NM$. Полученный четырехугольник $MPKN$ и есть искомое сечение тетраэдра.

   Заметим, что так как $MP || CD$ и $NK || CD$, то по свойству транзитивности параллельных прямых в пространстве, $MP || NK$. Следовательно, построенное сечение $MPKN$ является трапецией (или параллелограммом в частном случае).

Ответ: Искомое сечение — четырёхугольник $MPKN$, где точка $P$ лежит на ребре $AC$ и $MP || CD$, а точка $N$ лежит на ребре $BD$ и $NK || CD$.

5.33. На рёбрах $AD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ (рис. 5.25). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $MK$ параллельно прямой $AB$.

Рис. 5.25

Построение

1. В плоскости грани $DAB$ проведем через точку $M$ прямую, параллельную прямой $AB$. Точку пересечения этой прямой с ребром $DB$ обозначим $N$. Отрезок $MN$ — первая сторона сечения.
2. В плоскости грани $CAB$ проведем через точку $K$ прямую, параллельную прямой $AB$. Точку пересечения этой прямой с ребром $AC$ обозначим $P$. Отрезок $KP$ — вторая сторона сечения.
3. Соединим точки $N$ и $K$, лежащие в плоскости грани $DCB$. Отрезок $NK$ — третья сторона сечения.
4. Соединим точки $P$ и $M$, лежащие в плоскости грани $DCA$. Отрезок $PM$ — четвертая сторона сечения.
5. Четырехугольник $MNKP$ — искомое сечение.

Обоснование

Пусть $\alpha$ — плоскость искомого сечения. По условию, $\alpha$ проходит через прямую $MK$ и параллельна прямой $AB$.

1. По свойству параллельных прямой и плоскости: если плоскость ($\alpha$) проходит через прямую ($MN$), параллельную другой прямой ($AB$), то она параллельна этой прямой ($AB$). Мы строим прямую $MN$ в плоскости грани $DAB$ так, что $M \in MN$ и $MN \parallel AB$. Таким образом, мы определяем след плоскости $\alpha$ на грани $DAB$. Точки $M$ и $N$ принадлежат плоскости сечения.

2. Аналогично, плоскость $\alpha$ пересекает плоскость грани $CAB$ по прямой, проходящей через точку $K$ и параллельной $AB$. Мы строим прямую $KP$ в плоскости грани $CAB$ так, что $K \in KP$ и $KP \parallel AB$. Таким образом, мы определяем след плоскости $\alpha$ на грани $CAB$. Точки $K$ и $P$ принадлежат плоскости сечения.

3. Из построения следует, что $MN \parallel AB$ и $KP \parallel AB$. По свойству транзитивности параллельных прямых, $MN \parallel KP$. Две параллельные прямые однозначно задают плоскость, следовательно, точки $M, N, K, P$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Эта плоскость проходит через точки $M$ и $K$ (а значит, и через прямую $MK$) и параллельна прямой $AB$, так как содержит прямую $MN$, параллельную $AB$.

4. Отрезки $MN, NK, KP, PM$ являются линиями пересечения плоскости $\alpha$ с гранями тетраэдра $DAB, DCB, CAB, DCA$ соответственно. Следовательно, четырехугольник $MNKP$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник $MNKP$, полученный в результате построения, где $N$ — точка на ребре $DB$ такая, что $MN \parallel AB$, а $P$ — точка на ребре $AC$ такая, что $KP \parallel AB$.

5.34. На рёбрах $AB$ и $C_1D_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$ и $K$. Постройте линию пересечения плоскостей $AA_1K$ и $DD_1M$. Каково взаимное расположение построенной прямой и прямой $AA_1$?

Построение линии пересечения плоскостей $AA_1K$ и $DD_1M$

Для построения линии пересечения двух плоскостей $(AA_1K)$ и $(DD_1M)$ необходимо найти две их общие точки, либо одну общую точку и направление линии пересечения. Воспользуемся вторым подходом.

1. Определим направление линии пересечения. Плоскость $(AA_1K)$ проходит через прямую $AA_1$. Плоскость $(DD_1M)$ проходит через прямую $DD_1$. В прямоугольном параллелепипеде боковые ребра параллельны, следовательно, $AA_1 \parallel DD_1$. По теореме о линии пересечения двух плоскостей, каждая из которых содержит одну из двух параллельных прямых, их линия пересечения параллельна этим прямым. Таким образом, искомая линия пересечения $l$ параллельна $AA_1$ (и $DD_1$).

2. Теперь найдем одну общую точку этих плоскостей. Для этого найдем точку пересечения их следов на плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$.

3. След плоскости $(AA_1K)$ на плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ — это прямая $A_1K$, так как точки $A_1$ и $K$ принадлежат обеим плоскостям.

4. Чтобы найти след плоскости $(DD_1M)$, построим точку $M_1$ на ребре $A_1B_1$ так, что $A_1M_1 = AM$. Поскольку грань $AA_1B_1B$ — прямоугольник, то $MM_1 \parallel AA_1$. Так как $AA_1 \parallel DD_1$, то $MM_1 \parallel DD_1$. Это означает, что точки $D, D_1, M$ и $M_1$ лежат в одной плоскости — плоскости $(DD_1M)$. Таким образом, прямая $D_1M_1$ является следом плоскости $(DD_1M)$ на плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$.

5. В плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ найдем точку пересечения прямых $A_1K$ и $D_1M_1$. Обозначим эту точку как $P$. Так как точка $P$ лежит на прямой $A_1K$, она принадлежит плоскости $(AA_1K)$. Так как точка $P$ лежит на прямой $D_1M_1$, она принадлежит плоскости $(DD_1M)$. Следовательно, $P$ — общая точка двух плоскостей.

6. Искомая линия пересечения — это прямая $l$, проходящая через построенную точку $P$ и параллельная ребру $AA_1$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $(AA_1K)$ и $(DD_1M)$ — это прямая, проходящая через точку $P$, которая является пересечением прямых $A_1K$ и $D_1M_1$ в плоскости верхнего основания (где точка $M_1$ на ребре $A_1B_1$ такова, что $MM_1 \parallel AA_1$), и параллельная ребру $AA_1$.

Взаимное расположение построенной прямой и прямой $AA_1$

Как было установлено в пункте 1 построения, линия пересечения $l$ плоскостей $(AA_1K)$ и $(DD_1M)$ параллельна прямым $AA_1$ и $DD_1$, так как эти плоскости проходят через данные параллельные прямые.

Строгое обоснование:Пусть $\alpha = (AA_1K)$ и $\beta = (DD_1M)$.Имеем $AA_1 \subset \alpha$ и $DD_1 \subset \beta$, при этом $AA_1 \parallel DD_1$.По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AA_1$ параллельна плоскости $\beta$ (так как $AA_1$ параллельна прямой $DD_1$, лежащей в плоскости $\beta$, и $AA_1$ не лежит в $\beta$ в общем случае).По свойству параллельных прямой и плоскости, если плоскость $\alpha$, содержащая прямую $AA_1$, пересекает плоскость $\beta$ (которой прямая $AA_1$ параллельна), то линия пересечения $l$ параллельна прямой $AA_1$.

Таким образом, построенная прямая $l$ и прямая $AA_1$ параллельны. Они не совпадают, поскольку в общем случае прямая $AA_1$ не принадлежит плоскости $(DD_1M)$ (это было бы возможно, только если бы точки $A, M, D$ лежали на одной прямой, что противоречит условию, так как $M$ лежит на ребре $AB$).

Ответ: Построенная прямая параллельна прямой $AA_1$.

5.35. На ребре $BB_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точки $E$ и $F$ (рис. 5.26). Постройте линию пересечения плоскостей $AFD$ и $A_1ED_1$.

Рис. 5.26

Для построения линии пересечения двух плоскостей, $(AFD)$ и $(A_1ED_1)$, мы найдем одну общую точку этих плоскостей и определим направление линии их пересечения. Этого достаточно, чтобы однозначно задать искомую прямую.

1. Нахождение общей точки.
Рассмотрим плоскость передней грани параллелепипеда — $(ABB_1A_1)$. Прямые $AF$ и $A_1E$ целиком лежат в этой плоскости, поскольку точки $A$ и $A_1$ принадлежат этой грани, а точки $E$ и $F$ (по условию) лежат на ребре $BB_1$, которое также является стороной этой грани. В плоскости $(ABB_1A_1)$ прямые $AF$ и $A_1E$ не параллельны (они являются секущими для параллельных прямых $AA_1$ и $BB_1$) и, следовательно, пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку $K$.

• Поскольку точка $K$ лежит на прямой $AF$, она принадлежит плоскости $(AFD)$.
• Поскольку точка $K$ лежит на прямой $A_1E$, она принадлежит плоскости $(A_1ED_1)$.

Таким образом, точка $K$ является общей для обеих плоскостей и, значит, лежит на искомой линии пересечения.

2. Определение направления линии пересечения.
Плоскость $(AFD)$ содержит прямую $AD$. Плоскость $(A_1ED_1)$ содержит прямую $A_1D_1$. В прямоугольном параллелепипеде основания параллельны, поэтому рёбра $AD$ и $A_1D_1$ параллельны друг другу: $AD \parallel A_1D_1$. Существует теорема в стереометрии: если две пересекающиеся плоскости проходят через две параллельные прямые, то линия их пересечения параллельна этим прямым. В нашем случае плоскость $(AFD)$ проходит через прямую $AD$, а плоскость $(A_1ED_1)$ — через прямую $A_1D_1$, и $AD \parallel A_1D_1$. Следовательно, линия пересечения этих плоскостей будет параллельна прямым $AD$ и $A_1D_1$.

3. Построение линии пересечения.
Из вышеизложенного следует, что искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $K$ и параллельная ребру $AD$.
Алгоритм построения:

1. В плоскости грани $(ABB_1A_1)$ построить прямые $AF$ и $A_1E$.
2. Найти точку их пересечения $K$.
3. Через точку $K$ провести прямую $l$ так, чтобы она была параллельна прямой $AD$ ($l \parallel AD$).

Прямая $l$ и есть искомая линия пересечения плоскостей $(AFD)$ и $(A_1ED_1)$.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку пересечения прямых $AF$ и $A_1E$ и параллельная ребру $AD$.

5.36. Точки $E$ и $F$ — середины соответственно рёбер $AD$ и $CD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую $EF$ параллельно прямой $B_1D$.

Для построения искомого сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выполним следующие шаги:

1. Построение следа сечения на нижней грани

Точки $E$ и $F$ лежат в плоскости сечения, а также в плоскости нижней грани $(ABCD)$. Следовательно, отрезок $EF$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с гранью $ABCD$. Так как точки $E$ и $F$ — середины ребер $AD$ и $CD$ соответственно, то $EF$ — средняя линия треугольника $ACD$. Из этого следует, что $EF \parallel AC$.

2. Использование условия параллельности прямой $B_1D$

По условию, секущая плоскость $\alpha$ параллельна диагонали куба $B_1D$. Прямая $B_1D$ лежит в диагональной плоскости $(BB_1D_1D)$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(BB_1D_1D)$ должна быть параллельна прямой $B_1D$.

Чтобы найти эту линию пересечения, найдем общую точку плоскостей $\alpha$ и $(BB_1D_1D)$. Прямая $EF$ (лежащая в $\alpha$) и прямая $BD$ (лежащая в $(BB_1D_1D)$) обе находятся в плоскости $(ABCD)$. Найдем их точку пересечения $K$.Пусть $O$ — центр грани $ABCD$ ($O = AC \cap BD$). В треугольнике $ADO$, $E$ — середина $AD$. Так как $EF \parallel AC$, то $EK \parallel AO$. По теореме Фалеса, $K$ является серединой отрезка $DO$.

3. Построение точки M на ребре $BB_1$

Теперь у нас есть точка $K$, принадлежащая обеим плоскостям. В плоскости $(BB_1D_1D)$ проведем через точку $K$ прямую, параллельную $B_1D$. Эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в некоторой точке $M$. Точка $M$ будет являться одной из вершин искомого сечения.

Рассмотрим треугольник $B_1BD$. Так как $MK \parallel B_1D$, треугольники $\triangle BKM$ и $\triangle BDB_1$ подобны. Из подобия следует соотношение:$\frac{BM}{BB_1} = \frac{BK}{BD}$Найдем длину отрезка $BK$. Так как $K$ — середина $DO$, а $O$ — середина $BD$, то $DK = \frac{1}{2}DO = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}BD) = \frac{1}{4}BD$.Тогда $BK = BD - DK = BD - \frac{1}{4}BD = \frac{3}{4}BD$.Подставляя это в пропорцию, получаем:$\frac{BM}{BB_1} = \frac{\frac{3}{4}BD}{BD} = \frac{3}{4}$.Таким образом, точка $M$ лежит на ребре $BB_1$ и $BM = \frac{3}{4}BB_1$.

4. Построение точек Q и P

Теперь, когда у нас есть три точки сечения $E, F, M$, мы можем построить остальные вершины, используя свойство параллельности следов секущей плоскости на параллельных гранях куба.

Продлим прямую $MK$ в плоскости $(BB_1D_1D)$ до пересечения с прямой $DD_1$. Обозначим эту точку $L$. Точки $F$ и $L$ принадлежат секущей плоскости, а также плоскости задней грани $(CDD_1C_1)$. Проведем прямую $FL$. Точка пересечения прямой $FL$ с ребром $CC_1$ даст нам новую вершину сечения — точку $Q$.

Грани $(ADD_1A_1)$ и $(BCC_1B_1)$ параллельны. Следовательно, линии пересечения секущей плоскости с этими гранями должны быть параллельны. У нас есть точки $M$ и $Q$ на грани $(BCC_1B_1)$, значит $MQ$ - след сечения на этой грани. Проведем в плоскости грани $(ADD_1A_1)$ через точку $E$ прямую, параллельную $MQ$. Эта прямая пересечет ребро $AA_1$ в точке $P$. Точка $P$ — последняя недостающая вершина сечения.

5. Построение итогового сечения

Мы нашли все вершины многоугольника в сечении: $E$ на $AD$, $F$ на $CD$, $Q$ на $CC_1$, $M$ на $BB_1$ и $P$ на $AA_1$. Последовательно соединив их, получаем искомое сечение — пятиугольник $EFPQM$.

• $EF$ лежит в грани $ABCD$.
• $FQ$ лежит в грани $CDD_1C_1$.
• $QM$ лежит в грани $BCC_1B_1$.
• $MP$ лежит в грани $ABB_1A_1$.
• $PE$ лежит в грани $ADD_1A_1$.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $EFPQM$, вершины которого лежат на ребрах куба: $E$ — середина $AD$, $F$ — середина $CD$, точка $Q$ на ребре $CC_1$ такова, что $CQ = \frac{1}{4}CC_1$, точка $M$ на ребре $BB_1$ такова, что $BM = \frac{3}{4}BB_1$, и точка $P$ на ребре $AA_1$ такова, что $AP = \frac{1}{4}AA_1$.