Страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.3. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.14), точки $E$ и $F$ — середины рёбер $CC_1$ и $DD_1$ соответственно. Запишите грани параллелепипеда, которым параллельна прямая:

1) $AB$;

2) $CC_1$;

3) $AC$;

4) $EF$.

Рис 5.14

1) Прямая $AB$ параллельна рёбрам $CD$ и $A_1B_1$. Ребро $CD$ лежит в грани $DCC_1D_1$, а ребро $A_1B_1$ лежит в грани $A_1B_1C_1D_1$. Прямая параллельна плоскости, если она не лежит в этой плоскости и параллельна некоторой прямой в этой плоскости. Прямая $AB$ не лежит в указанных гранях, следовательно, она им параллельна.
Ответ: $DCC_1D_1$ и $A_1B_1C_1D_1$.

2) Прямая $CC_1$ является боковым ребром и параллельна другим боковым рёбрам, в частности $AA_1$ и $BB_1$. Ребро $AA_1$ принадлежит грани $ADD_1A_1$, а также грани $ABB_1A_1$. Так как прямая $CC_1$ не лежит в этих гранях, она им параллельна.
Ответ: $ADD_1A_1$ и $ABB_1A_1$.

3) Прямая $AC$ является диагональю основания $ABCD$. В прямоугольном параллелепипеде диагонали противоположных граней параллельны, поэтому $AC \parallel A_1C_1$. Прямая $A_1C_1$ целиком лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Так как $AC$ не лежит в этой грани, она ей параллельна.
Ответ: $A_1B_1C_1D_1$.

4) Рассмотрим грань $DCC_1D_1$. Точки $E$ и $F$ являются серединами рёбер $CC_1$ и $DD_1$ соответственно. Так как $DCC_1D_1$ — прямоугольник, то $DD_1 \parallel CC_1$ и $DD_1 = CC_1$. Отсюда следует, что $DF \parallel CE$ и $DF = CE$. Значит, четырёхугольник $DCEF$ — параллелограмм, и, следовательно, $EF \parallel DC$. Прямая $DC$, в свою очередь, параллельна рёбрам $AB$ и $A_1B_1$. Ребро $AB$ лежит в грани $ABB_1A_1$, а ребро $A_1B_1$ — в грани $A_1B_1C_1D_1$. Таким образом, прямая $EF$ параллельна граням $ABB_1A_1$ и $A_1B_1C_1D_1$.
Ответ: $ABB_1A_1$ и $A_1B_1C_1D_1$.

5.4. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Верно ли утверждение, что прямая $a$ параллельна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$?

Нет, данное утверждение неверно.

По определению, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, если они не имеют общих точек. Это означает, что прямая $a$ не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости $\alpha$.

Две прямые в пространстве, которые не пересекаются, могут быть либо параллельными, либо скрещивающимися.

Рассмотрим контрпример. Пусть в плоскости $\alpha$ лежат две пересекающиеся прямые $b$ и $c$. Проведем через точку их пересечения прямую, не лежащую в плоскости $\alpha$. Через эту прямую и прямую $b$ проведем плоскость $\beta$. В плоскости $\beta$ проведем прямую $a$, параллельную прямой $b$. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $a$ будет параллельна плоскости $\alpha$ (так как она параллельна прямой $b$, лежащей в $\alpha$, и сама не лежит в $\alpha$).

При этом прямая $a$ параллельна прямой $b$, но не параллельна прямой $c$. Прямые $a$ и $c$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Таким образом, если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то в этой плоскости существует как минимум одна прямая, параллельная прямой $a$, но не все прямые в плоскости $\alpha$ будут параллельны прямой $a$.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

5.5. Даны прямые $a$ и $b$ и плоскость $\alpha$. Верно ли утверждение:

1) если $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel b$;

2) если $a \parallel b$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel \alpha$;

3) если $a \parallel b$ и $b \subset \alpha$, то $a \parallel \alpha$?

1) если $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel b$

Данное утверждение неверно. Две прямые, параллельные одной и той же плоскости, не обязательно параллельны друг другу. Они могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.

Рассмотрим контрпример. Пусть $\alpha$ — это плоскость $z=0$ в декартовой системе координат.

• Прямая $a$ задана уравнениями $y=0, z=1$. Она параллельна оси $Ox$ и лежит в плоскости $z=1$. Прямая $a$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$, следовательно $a \parallel \alpha$.
• Прямая $b$ задана уравнениями $x=0, z=1$. Она параллельна оси $Oy$ и лежит в той же плоскости $z=1$. Прямая $b$ также не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$, следовательно $b \parallel \alpha$.

Однако прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $(0, 0, 1)$ и не являются параллельными. Таким образом, из того, что $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$, не следует, что $a \parallel b$.

Ответ: утверждение неверно.

2) если $a \parallel b$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel \alpha$

Данное утверждение неверно. По определению, прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек.

Рассмотрим контрпример. Пусть прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$). Возьмем прямую $b$, параллельную прямой $a$ ($b \parallel a$), но не лежащую в плоскости $\alpha$.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая ($b$), не лежащая в плоскости ($\alpha$), параллельна какой-либо прямой ($a$), лежащей в этой плоскости, то эта прямая ($b$) параллельна данной плоскости ($\alpha$).

В нашем примере условия утверждения выполнены:

• $a \parallel b$ (по построению).
• $b \parallel \alpha$ (согласно признаку параллельности, так как $b \parallel a$ и $a \subset \alpha$).

Однако заключение "$a \parallel \alpha$" неверно, так как мы изначально выбрали прямую $a$ лежащей в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), а значит, она имеет с ней бесконечно много общих точек и не является ей параллельной.

Ответ: утверждение неверно.

3) если $a \parallel b$ и $b \subset \alpha$, то $a \parallel \alpha$?

Данное утверждение неверно. Оно представляет собой признак параллельности прямой и плоскости, но в нем отсутствует важное условие: прямая $a$ не должна лежать в плоскости $\alpha$. Если это условие не выполняется, утверждение может быть ложным.

Приведем контрпример. Пусть в плоскости $\alpha$ лежат две различные параллельные прямые $a$ и $b$.

В этом случае условия утверждения выполнены:

• $a \parallel b$ (по построению).
• $b \subset \alpha$ (по построению).

Однако заключение "$a \parallel \alpha$" является ложным. Прямая $a$ сама лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$) и имеет с ней бесконечное множество общих точек, а не ноль, как того требует определение параллельности прямой и плоскости.

Ответ: утверждение неверно.

5.6. Прямая $a$ и плоскость $\alpha$ параллельны прямой $b$. Каким может быть взаимное расположение прямой $a$ и плоскости $\alpha$?

По условию задачи прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$), и плоскость $\alpha$ параллельна прямой $b$ ($\alpha \parallel b$).Определение параллельности прямой и плоскости гласит, что они не имеют общих точек. Таким образом, условие $\alpha \parallel b$ означает, что прямая $b$ и плоскость $\alpha$ не пересекаются, то есть $b \cap \alpha = \emptyset$.

Существует три возможных варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1. Прямая пересекает плоскость в одной точке.
2. Прямая параллельна плоскости (не имеет с ней общих точек).
3. Прямая лежит в плоскости.

Рассмотрим, какие из этих случаев возможны при заданных условиях.

Сначала докажем, что прямая $a$ не может пересекать плоскость $\alpha$.
Предположим обратное: прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $M$.Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), через них можно провести единственную плоскость $\beta$. Таким образом, $a \subset \beta$ и $b \subset \beta$.Точка $M$ принадлежит и прямой $a$, и плоскости $\alpha$. Так как $a \subset \beta$, то точка $M$ является общей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $c$, причем $M \in c$.По условию, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$. Это означает, что прямая $b$ не имеет общих точек ни с одной прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. В частности, $b$ не пересекает прямую $c$, которая полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).Прямые $b$ и $c$ обе лежат в плоскости $\beta$ и не пересекаются, следовательно, они параллельны: $b \parallel c$.Теперь рассмотрим плоскость $\beta$. В ней лежат прямые $a$, $b$ и $c$. Мы имеем:

• $a \parallel b$ (по условию задачи).
• $c \parallel b$ (по нашему доказательству).

Согласно теореме о параллельности прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), из этого следует, что $a \parallel c$.Однако мы исходили из того, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$. Поскольку $c$ — это линия пересечения плоскостей, содержащих $a$ и $\alpha$, то точка $M$ должна лежать и на прямой $c$. Таким образом, прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $M$.Мы получили противоречие: прямые $a$ и $c$ одновременно параллельны и пересекаются. Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямая $a$ не может пересекать плоскость $\alpha$.

Поскольку пересечение невозможно, остаются два возможных случая. Покажем, что оба они реализуемы.

1. Прямая a параллельна плоскости α.
Этот случай возможен. Приведем пример. В прямоугольной системе координат пусть прямая $b$ совпадает с осью $Ox$. Пусть плоскость $\alpha$ задана уравнением $z=1$. Эта плоскость параллельна оси $Ox$. Пусть прямая $a$ задана как пересечение плоскостей $y=1$ и $z=2$. Прямая $a$ также параллельна оси $Ox$. В данном случае условия $a \parallel b$ и $\alpha \parallel b$ выполнены. При этом прямая $a$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$, то есть $a \parallel \alpha$.

2. Прямая a лежит в плоскости α.
Этот случай также возможен. Приведем пример. Пусть, как и ранее, прямая $b$ совпадает с осью $Ox$, а плоскость $\alpha$ задана уравнением $z=1$ ($\alpha \parallel b$). Пусть прямая $a$ задана как пересечение плоскостей $y=2$ и $z=1$. Эта прямая лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна оси $Ox$. Таким образом, условия $a \parallel b$ и $\alpha \parallel b$ выполнены, и при этом $a \subset \alpha$.

Таким образом, взаимное расположение прямой $a$ и плоскости $\alpha$ может быть одним из двух: прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ или прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.
Ответ: Прямая $a$ может быть параллельна плоскости $\alpha$ или может лежать в плоскости $\alpha$.

5.7. Прямые $a$ и $b$ пересекаются, а плоскость $\alpha$ параллельна прямой $a$.

Каким может быть взаимное расположение прямой $b$ и плоскости $\alpha$?

Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. Это означает, что точка $M$ принадлежит как прямой $a$, так и прямой $b$ ($M \in a$ и $M \in b$).

По условию задачи, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $a$ ($a \parallel \alpha$). По определению параллельности прямой и плоскости, у них нет общих точек. Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $a$, она не может принадлежать плоскости $\alpha$, то есть $M \notin \alpha$.

Рассмотрим возможные варианты взаимного расположения прямой $b$ и плоскости $\alpha$. Так как точка $M$ принадлежит прямой $b$, но не принадлежит плоскости $\alpha$, то прямая $b$ не может целиком лежать в плоскости $\alpha$. Таким образом, остаются две возможности: прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ или прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$. Покажем, что оба этих случая возможны.

1. Прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$.

Через пересекающиеся прямые $a$ и $b$ проходит единственная плоскость $\beta$. Предположим, что плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$. Линию их пересечения обозначим как $c$. Согласно свойству, если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($a$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения ($c$) параллельна данной прямой ($a$). Таким образом, $c \parallel a$.В плоскости $\beta$ прямая $b$ пересекает прямую $a$ в точке $M$. Поскольку $c \parallel a$, прямая $b$ пересекает и прямую $c$ в некоторой точке $N$. Так как точка $N$ лежит на прямой $c$, а прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$, то точка $N$ принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, $N$ является точкой пересечения прямой $b$ и плоскости $\alpha$. Этот случай возможен.

2. Прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$.

Этот случай также возможен. Снова рассмотрим плоскость $\beta$, заданную прямыми $a$ и $b$. Если плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, то любая прямая, лежащая в плоскости $\beta$, будет параллельна плоскости $\alpha$. В частности, прямая $b$ будет параллельна плоскости $\alpha$. Такая конфигурация удовлетворяет всем условиям задачи, так как $a$ и $b$ пересекаются, и при этом $a \parallel \alpha$ (поскольку $a \subset \beta$ и $\beta \parallel \alpha$).

Таким образом, прямая $b$ может как пересекать плоскость $\alpha$, так и быть ей параллельна.

Ответ: Прямая $b$ может пересекать плоскость $\alpha$ или быть параллельной ей.

5.8. Вершины $E$ и $F$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ лежат в плоскости $\alpha$, отличной от плоскости шестиугольника (рис. 5.15). Каково взаимное расположение плоскости $\alpha$ и прямой:

1) $BC$;

2) $AB$;

3) $BD$;

4) $AD$?

Рис. 5.15

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника и признаками взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Обозначим плоскость шестиугольника как β. По условию, плоскость α и плоскость β различны. Так как точки E и F принадлежат обеим плоскостям, то плоскости α и β пересекаются по прямой EF.

1) BC

В правильном шестиугольнике ABCDEF противолежащие стороны параллельны. Следовательно, сторона BC параллельна стороне FE ($BC \parallel FE$).

По условию, вершины E и F лежат в плоскости α, а значит, и вся прямая FE лежит в плоскости α.

Прямая BC не лежит в плоскости α, так как в противном случае плоскость шестиугольника β совпадала бы с плоскостью α, что противоречит условию.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Так как $BC \parallel FE$ и прямая FE лежит в плоскости α, то прямая BC параллельна плоскости α.

Ответ: Прямая BC параллельна плоскости α.

2) AB

Прямая AB лежит в плоскости шестиугольника β. Плоскости α и β пересекаются по прямой EF.

В правильном шестиугольнике смежные стороны AB и FE не параллельны. Поскольку прямая AB лежит в плоскости β и не параллельна линии пересечения EF, она должна пересекать линию пересечения EF в некоторой точке.

Так как эта точка пересечения принадлежит прямой EF, она также принадлежит и плоскости α. Следовательно, прямая AB имеет с плоскостью α одну общую точку, то есть пересекает ее.

Ответ: Прямая AB пересекает плоскость α.

3) BD

Прямая BD является диагональю шестиугольника и лежит в его плоскости β. Плоскости α и β пересекаются по прямой EF.

В правильном шестиугольнике диагональ BD не параллельна стороне EF. Это можно показать, например, с помощью векторов или координатного метода. Прямые BD и EF лежат в одной плоскости β и не параллельны, значит, они пересекаются.

Так как прямая BD лежит в плоскости β и не параллельна прямой пересечения EF, она пересекает прямую EF. Точка их пересечения принадлежит прямой EF, а значит, и плоскости α.

Следовательно, прямая BD пересекает плоскость α.

Ответ: Прямая BD пересекает плоскость α.

4) AD

Прямая AD является большой диагональю правильного шестиугольника. По свойству правильного шестиугольника, большая диагональ AD параллельна стороне BC ($AD \parallel BC$).

Как было установлено в пункте 1, сторона BC параллельна стороне FE ($BC \parallel FE$).

Используя свойство транзитивности параллельных прямых, из $AD \parallel BC$ и $BC \parallel FE$ следует, что $AD \parallel FE$.

Прямая FE лежит в плоскости α. Прямая AD не лежит в плоскости α, так как в противном случае плоскость шестиугольника β совпадала бы с плоскостью α.

По признаку параллельности прямой и плоскости, так как прямая AD параллельна прямой FE, лежащей в плоскости α, то прямая AD параллельна плоскости α.

Ответ: Прямая AD параллельна плоскости α.

5.9. Точки $M$ и $K$ — середины соответственно сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Точка $D$ не принадлежит плоскости $ABC$. Докажите, что $MK \parallel ADC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Следовательно, отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABC$.

Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Таким образом, прямая $MK$ параллельна прямой $AC$: $$MK \parallel AC$$

Теперь рассмотрим плоскость $ADC$. Эта плоскость задана тремя точками $A$, $D$ и $C$. Прямая $AC$ проходит через две из этих точек ($A$ и $C$), следовательно, прямая $AC$ целиком лежит в плоскости $ADC$.

Для доказательства параллельности прямой $MK$ и плоскости $ADC$ воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Проверим выполнение условий этого признака для прямой $MK$ и плоскости $ADC$:
1. Прямая $MK$ не лежит в плоскости $ADC$. Это следует из того, что точка $D$ не принадлежит плоскости $ABC$, значит точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости. Точка $B$ не принадлежит плоскости $ADC$, поэтому и точка $M$ (как середина $AB$) и точка $K$ (как середина $BC$) также не принадлежат плоскости $ADC$.
2. Прямая $MK$ параллельна прямой $AC$ ($MK \parallel AC$), как было показано выше.
3. Прямая $AC$ лежит в плоскости $ADC$.

Поскольку все условия признака параллельности прямой и плоскости выполняются, мы можем заключить, что прямая $MK$ параллельна плоскости $ADC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $MK$ параллельна плоскости $ADC$.

5.10. Точки $E$ и $F$ — середины соответственно боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$. Прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$, отличной от плоскости трапеции. Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны плоскости $\alpha$.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ являются основаниями, а $AB$ и $CD$ — боковыми сторонами. Точки $E$ и $F$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. По определению, отрезок $EF$ является средней линией трапеции $ABCD$.

Согласно свойству средней линии трапеции, она параллельна ее основаниям. Следовательно, мы имеем: $EF \parallel AD$ и $EF \parallel BC$.

Из условия задачи известно, что прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$ (то есть $EF \subset \alpha$), и плоскость $\alpha$ не совпадает с плоскостью трапеции $ABCD$.

Для доказательства параллельности прямых $AD$ и $BC$ плоскости $\alpha$ воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Доказательство для прямой $AD$:
1. Прямая $AD$ параллельна прямой $EF$ ($AD \parallel EF$) по свойству средней линии трапеции.
2. Прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$ ($EF \subset \alpha$) по условию.
3. Прямая $AD$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($AD \not\subset \alpha$). Докажем это методом от противного. Предположим, что прямая $AD$ лежит в плоскости $\alpha$. Тогда две параллельные прямые $AD$ и $EF$ обе лежат в плоскости $\alpha$. Две параллельные прямые однозначно определяют плоскость. В данном случае это плоскость трапеции $ABCD$. Следовательно, плоскость трапеции должна совпадать с плоскостью $\alpha$, что противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно, и $AD \not\subset \alpha$.
Так как прямая $AD$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $EF$, которая лежит в этой плоскости, то по признаку параллельности прямой и плоскости $AD \parallel \alpha$.

Доказательство для прямой $BC$:
1. Прямая $BC$ параллельна прямой $EF$ ($BC \parallel EF$) по свойству средней линии трапеции.
2. Прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$ ($EF \subset \alpha$) по условию.
3. Прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($BC \not\subset \alpha$). Доказательство аналогично предыдущему пункту. Если предположить, что $BC \subset \alpha$, то плоскость, определяемая параллельными прямыми $BC$ и $EF$ (плоскость трапеции), будет совпадать с плоскостью $\alpha$, что противоречит условию.
Таким образом, прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $EF$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости $BC \parallel \alpha$.

Мы доказали, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны плоскости $\alpha$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5.11. Отрезки BC и AD — основания трапеции ABCD. Треугольник BMC и трапеция ABCD не лежат в одной плоскости (рис. 5.16).

Точка E — середина отрезка BM, точка F — середина отрезка CM.

Докажите, что $EF \parallel AD$.

Рис. 5.16

Для доказательства утверждения $EF \parallel AD$ выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим треугольник $BMC$. По условию задачи, точка $E$ является серединой стороны $BM$, а точка $F$ — серединой стороны $CM$.

2. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией. Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $BMC$.

3. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне этого треугольника. В нашем случае, это означает, что $EF \parallel BC$.

4. Теперь рассмотрим трапецию $ABCD$. По условию, отрезки $BC$ и $AD$ являются ее основаниями. По определению трапеции, ее основания параллельны. Таким образом, $BC \parallel AD$.

5. Мы получили два утверждения: $EF \parallel BC$ и $BC \parallel AD$. Согласно теореме о параллельности трех прямых в пространстве (если две различные прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), из этих двух утверждений следует, что $EF \parallel AD$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение $EF \parallel AD$ доказано.